بر ضدِ بعضی مهملاتِ پرطرفدار [ترجمه]

ترجمه‌‌ی کتابی در موردِ قضیه‌های ناتمامیتِ گودل را تمام کردم و به‌موقع به ناشر تحویل دادم. به نظرِ من کتابِ بسیار خوبی است، و میزانِ روان‌بودنِ متن (-ِ اصلی) و نیز شدتِ سادگیِ بعضی اثبات‌هایش حیرت‌آور است. نویسنده غیر از اینکه منطق‌دانِ شناخته‌شده‌ای است با معماهایش هم مشهور است، و هنرهای دیگر هم دارد. 

این توضیحِ نویسنده است بعد از اثباتِ شکلِ مجردی از قضیه‌ی دومِ ناتمامیت و پیش از اثباتِ قضیه‌ی لوب. در این متن، .P.A حسابِ پئانو است و consis جمله‌ای است که می‌گوید حکمِ صفر مساوی است با یک در .P.A اثبات‌پذیر نیست. بعد از صدوچند صفحه بحثِ فنّی، به‌نظر می‌رسد که نویسنده‌ی نازنینِ ما چند سطری با صفرای خویش برنیامده است.

 ***

[...] این نتیجه این‌طور بازنویسی کرده‌اند که "اگر حساب سازگار باشد، آنگاه نمی‌تواند سازگاریِ خودش را اثبات کند". متأسفانه مقدارِ زیادی مهملاتِ پرطرفدار در این باره به دستِ نویسندگانی نوشته شده است که، به‌وضوح، درک نمی‌کنند که اصلاً موضوع چیست. ما اظهاراتِ غیرمسؤولانه‌ای دیده‌ایم از این قبیل که "مطابقِ قضیه‌ی دومِ گودل، هرگز نمی‌توانیم بدانیم که آیا حساب سازگار است یا نه". مزخرف است! برای دیدنِ اینکه این حرف چقدر احمقانه است، فرض کنید معلوم شده بود که جمله‌ی consis در .P.A اثبات‌پذیر است—یا، تا واقع‌بین‌تر باشیم، فرض کنید نظامی را بررسی می‌کنیم که می‌تواند سازگاریِ خودش را اثبات کند. آیا این هیچ مبنایی می‌بود برای اعتماد به سازگاریِ این نظام؟ البته که نه! اگر نظام ناسازگار بود، آنگاه می‌توانست هر جمله‌ای را اثبات کند—از جمله حکمِ سازگاریِ خودش را!‌ اعتماد به سازگاریِ نظام بر این مبنا که می‌تواند سازگاریِ خودش را اثبات کند همان‌قدر ابلهانه است که اعتماد به صداقتِ کسی بر این مبنا که ادعا می‌کند که هرگز دروغ نمی‌گوید. خیر، این امر که .P.A، اگر سازگار باشد، نمی‌تواند سازگاریِ خودش را اثبات کند—این امر مقوّمِ کمترین مبنای عقلانی‌ای برای تردید در سازگاریِ .P.A نیست.