ه‍.ش. ۱۳۹۳ مهر ۲, چهارشنبه

نقصِ حافظه‌ی مکتوب



گفت "آقای [...] آمده بود اینجا. شماره‌ی تلفنِ تو را از من پرسید؛ می‌توانم بدهم؟"

گفتم "حتماً. بعداً هم هر موقع ایشان شماره‌ی مرا خواست می‌توانی بگویی و لازم نیست اول از من بپرسی. خیلی هم ممنون."




ه‍.ش. ۱۳۹۳ شهریور ۲۵, سه‌شنبه

ه‍.ش. ۱۳۹۳ شهریور ۲۱, جمعه

کمی مانده به مهر


در دوره‌ی شش‌هفته‌ایِ تابستان به بحثِ گویا و گنگ و قدرمطلق پرداختیم. کارکردن با این نوجوانانِ هوشمند برای من بسیار دل‌انگیز (و البته انرژی‌بَر) بوده است، و رضایت‌ام از ماندن در ایران و امیدواری‌ام به آینده را بیشتر کرده است. در طولِ سالِ تحصیلی سه روز در هفته کلاس خواهیم داشت: ریاضیاتِ اولِ دبیرستان.

این متن را یک جلسه قبل از امتحانِ میان‌ترم به دانش‌آموزان‌ام دادم. نحوه‌ی تقریرْ عامدانه با نحوه‌ی صحبت در کلاس متفاوت است.

**

گویا و گنگ: مرورِ نتایج

اثبات کرده‌ایم که عددهای صحیحِ a و bای وجود ندارند که a2=2b2 . پس اثبات کرده‌ایم که به ازای هر دو عددِ صحیحِ a و b، اگر a را بر b تقسیم کنیم و حاصل را به توانِ 2 برسانیم، حاصل مساویِ 2 نمی‌شود. این یعنی که اثبات کرده‌ایم که 2√ عددی گنگ است:

تعریف. عددی را گنگ می‌گوییم که حاصلِ تقسیمِ هیچ دو عددِ صحیحی نباشد. عددِ گویا عددی است که حاصلِ تقسیمِ دو عددِ صحیح باشد. (نتیجتاً همه‌ی عددهای صحیح—اعم از مثبت و منفی و صفر—گویا هستند.) پس هر عدد اگر گویا نباشد گنگ است و بر عکس.

اثباتِ گنگ‌بودنِ 2√ را به دو روش انجام دادیم. جزئیاتِ این روش‌ها فعلاً مهم نیست؛ چیزی که مهم است این است که با یکی از این روش‌ها توانستیم این را هم نشان بدهیم که 3√ و 5√ هم گنگ هستند. حتی بیشتر از این: اثبات کرده‌ایم که


قضیه‌ی ۱. اگر عددِ صحیحِ N مربعِ کامل نباشد، آنگاه N√ گنگ است.


از قبل می‌دانستیم که اگر N مربعِ کامل نباشد آنگاه Nعددی صحیح نیست (این امر فوراً از تعریفِ "مربعِ کامل" نتیجه می‌شود!)؛ نکته‌ی جدید برای ما این است که اگر N مربعِ کامل نباشد، آنگاه Nحتی گویا هم نیست.
پس مثلاً اینها گنگ هستند: 6√ و 12√ و 17√.

بدونِ اثبات می‌پذیریم که π گنگ است.


این قضیه‌ را هم در موردِ عددهای گویا و گنگ اثبات کرده‌ایم:


قضیه‌ی ۲. فرض کنید a و b عدهایی گویا و w عددی گنگ باشد. در این صورتa + b و ab گویا هستند و a + w گنگ است.


(اثباتِ قضیه‌ی ۲ آسان است. اگر a و b را به صورتِ حاصلِ تقسیمِ عددهای صحیحی بنویسیم، روشن خواهد شد که جمعِ a و b، و نیز ضربِ a و b، گویا است. اما چرا a + w گنگ است؟ اگر این عدد گویا بود لازم ‌می‌بود که جمع‌اش با عددِ گویای a- هم گویا باشد (چرا می‌گوییم که a- گویا است؟). اما جمعِ a + w و a- عددِ w است که گنگ است؛ پس a + w حتماً گنگ است. می‌شود دید (چگونه؟) که اگر a 0 آنگاه aw گنگ است.)

و این را هم اثبات کرده‌‌ایم:

قضیه‌ی ۳. بینِ هر دو عددِ گویای متمایز عددِ گویای دیگری وجود دارد. بینِ هر دو عددِ گویای متمایز عددِ گنگی وجود دارد.

(فرض کنیم a و b گویا باشند و مثلاً b > a. برای اثباتِ قسمتِ اول، کافی است از a و b میانگین بگیریم. برای قسمتِ دوم روش‌های مختلفی را بررسی کرده‌ایم، از جمله اینکه nای به اندازه‌ی کافی بزرگ انتخاب کنیم و 2√ را بر n تقسیم کنیم. حاصل عدی گنگ خواهد بود. این عدد را به a اضافه می‌کنیم، که حاصل باز هم گنگ خواهد بود. حالا اگر n به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد، این عددِ گنگ کوچک‌تر از b خواهد بود.)


قضیه‌ی مهمی اثبات کرده‌ایم که شرطی لازم و کافی برای گویا بودنِ عدد به‌دست می‌دهد. به‌یاد بیاوریم که نمایشِ دهدهیِ [یا همان بسطِ اعشاریِ] عدد را متناوب می‌گوییم اگر رشته‌ای از رقم‌ها باشد که، از جایی به بعد، نمایشِ اعشاری فقط از تکرارِ آن رشته تشکیل شده باشد—چند مثال:


17.444444... 
[تکرارِ 4 بلافاصله بعد از ممیز]

14.13791414141414... 
[تکرارِ 14 از رقمِ پنجم به بعد]

-8.200000... 
[تکرارِ 0 از رقمِ سوم به بعد؛ طبیعی‌تر آن است که این را به شکلِ 8.2- بنویسیم]

0.142857142857142857... 
[تکرارِ 142857 بلافاصله بعد از ممیز]


قضیه‌ی ۴.
(الف) نمایشِ دهدهیِ عددهای گویا متناوب است.
(ب) هر عددی که نمایشِ دهدهیِ متناوب داشته باشد گویا است.


(برای اثباتِ‌ (الف) توجه کردیم که اگر عددِ صحیحِ a را بر عددِ صحیحِ b تقسیم کنیم تا نمایشِ دهدهیِ حاصلِ تقسیمِ a بر b را بنویسیم، دیر یا زود یکی از باقی‌مانده‌ها تکرار می‌شود؛ از این لحظهِ در نمایشِ دهدهی با تکرار مواجه می‌شویم. برای(ب)، دستورالعملی معرفی کردیم که، از روی نمایشِ دهدهیِ متناوب، عددِ گویایی با آن نمایشِ دهدهی به‌دست بیاوریم.)

قضیه‌ی ۴ قضیه‌ی نیرومندی است. از جمله به ما امکان می‌دهد اثبات کنیم که بینِ هر دو عدد (اعم از گویا و گنگ) عددِ گویایی وجود دارد (چگونه؟). نیز، نشان می‌دهد که در نمایشِ دهدهیِ 2√ تناوب وجود ندارد (چرا که اگر این نمایش متناوب می‌بود، آنگاه—مطابقِ (ب)—لازم بود 2√ گویا باشد).

از بدفهمیِ شایعی اجتناب کنیم. این‌طور نیست که ویژگیِ مشخص‌کننده‌ی عددهای گنگ این باشد که نمایشِ دهدهی‌شان بی‌پایان است: مثلاً نمایشِ دهدهیِ ⅔ این است:

0.66666...

که متشکل است از تعدادِ بی‌پایانی 6. اصلاً به یک معنا همه‌ی نمایش‌های دهدهی بی‌پایان‌اند (8.2- را به‌یاد بیاورید). آنچه قضیه‌ی ۴ می‌گوید این است که ویژگیِ مشخص‌کننده‌ی عددهای گنگ این است که نمایش‌های دهدهی‌شان نامتناوب است. این‌طور هم نیست که ویژگیِ عددهای گنگ این باشد که نمایشِ دهدهی‌شان "بی‌قاعده" است. مثلاً این عدد را در نظر بگیرید:

2.71771777177771...


در نمایشِ دهدهیِ این عدد، قاعده این است که ابتدا یک 7 می‌آید و یک 1، بعد دو 7 و یک 1، بعد سه 7 و یک 1، و به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند. این عدد گنگ است نه به این دلیل که برای نمایشِ دهدهی‌اش قاعده‌ای وجود ندارد (قاعده را همین الآن دیدیم که چیست!)، بلکه به این دلیل که آنچه بعد از ممیز می‌آید متناوب نیست، یعنی رشته‌ای نیست که، از جایی به بعد، آن رشته تکرار شود.

ه‍.ش. ۱۳۹۳ شهریور ۱۵, شنبه

ولی کنعان در کشتی نیست


تنور فوران کرده است. فرمان می‌رسد که نوح از هر حیوان جفتی را به کشتی ببرد، "و کسان‌ات را، مگر آن که پیشتر درباره‌اش سخن رفته است..." (سوره‌ی هود، ۴۰). این صحبت از سخنِ قبلیِ خداوند (الّا من سبقَ علیه القول) چیزی است که مرجع‌اش قاعدةً بر ما هم معلوم است: در آیه‌ی ۳۶ خوانده‌ایم که به نوح وحی شد که، غیر از آنانی که ایمان آورده‌اند، شخصِ دیگری ایمان نخواهد آورد، و در آیه‌ی ۳۷ بعد از فرمانِ ساختنِ کشتی می‌شنویم که "با من در باره‌ی اشخاصی که ستم کرده‌اند سخن مگوی؛ آنان غرق‌شدنی هستند." [بسنجید با المؤمنون ۲۷.] 

طوفان شروع شده است و یک پسرِ نوح در کشتی نیست.*  نوح، که پسر را پسرک‌ام (یا بُنيَّ) خطاب می‌کند، او را از کافران نمی‌داند: می‌گوید با ما سوار شو و با کافران مباش (لا تکن مع الکافرین). خداوند تصریح کرده است (۳۶ و ۳۷) که اولاً کسِ دیگری ایمان نخواهد آورد و ثانیاً غیرمؤمنان غرق خواهند شد؛ نوح، با دعوتِ پسر به کشتی، یا هنوز امید دارد که پسر ایمان بیاورَد یا می‌خواهد غیرمؤمنی را از غرق نجات دهد. به‌نظر می‌رسد که نوح سخنِ مکررِ خداوند را نادیده گرفته یا فراموش کرده است. (بعید است نوح گمان کرده باشد که این پسر از مؤمنان است؛ اما همین فرضِ  بعید هم نتیجه‌اش این است که، بر خلافِ فرمانی که در ۴۰ خوانده‌ایم، نوح همه‌ی مؤمنان را به کشتی نیاورده است.) به هر صورت،‌ پسر نمی‌پذیرد و غرق می‌شود (۴۳).
 

از متنِ کتاب نمی‌شود استنتاج کرد که مدتِ طوفان چقدر بوده (هم‌چنان که نمی‌شود دریافت که نامِ پسر چه بوده)، گرچه می‌شود حدس زد که کوتاه نبوده. به هر حال، با ایجازِ مألوفِ قرآن و بدونِ ذکرِ دیگری از آنچه در حینِ طوفان بر کشتی‌نشینان گذشته، در آیه‌ی بعدی می‌خوانیم که خطاب به زمین گفته شد آب‌اش را فرو برَد و به آسمان که از باریدن بایستد و امر به انجام رسید و کشتی بر جودی قرار گرفت. این آیه‌ی ۴۴ را سنّتاً از زیباترین آیه‌های کتاب می‌دانند، اما قصدِ من در اینجا پرداختن به زیباییِ آیه نیست. در پایانِ آیه ستمکاران لعنت می‌شوند (و قیل بُعداً للقوم الظالمین)، و قبلاً هم در آیه‌ی ۳۷ خوانده بودیم که خداوند به نوح گفته است که کسانی که ستم کرده‌اند (الذین ظلموا) غرق خواهند شد. سخت است نتیجه‌نگرفتنِ اینکه این لعنتْ پسرِ نوح را هم شامل می‌شود، و سخت است به‌یادنیاوردنِ اینکه در همان آیه‌ی ۳۷ نوح نهی شده بود از اینکه با خداوند درباره‌ی ستمکاران سخن بگوید.

اما در آیه‌ی بعدی (۴۵) می‌خوانیم که نوح می‌گوید "ای پروردگارِ من، پسرِ من از کسانِ من است" (و نه اینکه از کسانِ من بود). البته که بی‌درنگ اضافه می‌کند که وعده‌ی تو حق است و تو بهترینِ داورانی، اما دل‌شکستگیِ نوح آشکار است.

  به گوشِ من، جوابی که می‌رسد عتاب‌آمیز است (۴۶): "گفت ای نوح او از کسانِ تو نیست؛ او عملی ناشایست است. پس آنچه به آن علم نداری از من مخواه. به تو اندرز می‌دهم که مبادا از نادانان باشی." و نوح، با تکرارِ بخشی از آنچه خداوند گفته است ("به تو پناه می‌برم که از تو چیزی بخواهم که به آن علم ندارم") عذرخواهی می‌کند.**  داستان تمام می‌شود (۴۸) با درودی به نوح و خبری به او (یا به پیامبرِ اسلام).


شاید گاهی تصورمان از پیامبرانِ الهی این باشد که همگی در همه‌ی موارد سربازانی گوش‌به‌فرمان بوده‌اند که اوامرِ خداوند را بی‌ چون‌وچرا و بی آنکه خم به ابرو بیاورند اجرا می‌کرده‌اند. به نظرم داستانِ نوح نشان می‌دهد که این تصور با کتاب مطابقت ندارد—و این به نظرم بزرگی‌شان را بیشتر نشان می‌دهد. عاطفه‌ی پدریِ نوح به‌سرعت و به‌سادگی ساکت نشده است.


دو نکته‌ی دیگر. اول اینکه شکلِ فعل‌هایی که در حکایتِ نوح در این سوره به‌کار رفته برای من مسأله‌ساز است: هنوز نتوانسته‌ام به نظریه‌ای برسم که توضیح دهد چرا در موردِ خداوند گاهی فعلِ مجهول به‌کار رفته (أوحی: وحی شد، ۳۶؛  قیل: گفته شد، ۴۴؛)، گاهی سوم‌شخص (قال: گفت، ۴۶)، گاهی اول‌شخصِ جمع (أرسلنا: فرستادیم: ۲۵؛ قُلنا: گفتیم، ۴۰).

دوم اینکه من مایل‌ترم به اینکه بگویم  که آیه‌ی ۴۹، که صحبت می‌کند از اینکه اینها اخبارِ غیب است که به تو (پیامبرِ اسلام) وحی می‌کنیم و نه تو از اینها خبر داشتی و نه قوم‌ات، مقدمه‌ی حکایتِ هود است و نه مؤخره‌ی حکایتِ نوح: اگرچه داستانِ نوح در کتاب تفاوت دارد با داستانِ نوح در عهدِ عتیق، اما قومِ پیامبرِ اسلام از طریقِ عهدِ عتیق با نوح آشنا بوده‌اند. بر خلافِ نوح، در عهدِ عتیق صحبتی از هود و صالح نیست.
---

* در مفصل‌ترین داستانِ نوح در کتاب—یعنی آیه‌های ۴۸-۲۵ از سوره‌ی هود—کلمه‌ی "طوفان" نیامده است؛ این کلمه را در العنکبوت ۱۴ می‌بینیم (و در همان‌ جا هم هست که می‌خوانیم نوح نهصدوپنجاه سال در میانِ قوم‌اش بوده است). 
 
** به نظرم نگاه به خودِ آیه‌ی ۴۶ توجیه‌کننده‌ی وصفِ عتاب‌آمیز است که در متن گفته‌ام. اگر این کافی نیست، کلامِ خداوند خطاب به نوح را که در این آیه گزارش شده مقایسه کنید با آنچه—مطابقِ روایتِ همین سوره‌ی هود— به ابراهیم گفته می‌شود وقتی که ابراهیم با خداوند درباره‌ی قومِ لوط چون‌وچرا می‌کند (۷۴، یجادلنا فی قومِ لوطٍ): بعد از اینکه آیه‌ی مستقلی (۷۵) ابراهیم را به چند صفت می‌ستاید، می‌خوانیم (۷۶) که "ای ابراهیم، از این بگذر، که فرمانِ پروردگارت رسیده و برای آنان عذابِ بی‌بازگشتی خواهد آمد." مؤاخذه‌ای یا پندی در کار نیست.