ه‍.ش. ۱۳۹۱ دی ۱۸, دوشنبه

بازدیدِ وب‌گاهِ مؤسسه‌ای بزرگ از قضیه‌ی گودل




در وب‌‌گاهِ جدیدِ مؤسسه‌ی پژوهشی حکمت وفلسفه‌ی ایران اخیراً مقاله‌‌ای از آقای حسن عبدی را بازنشر کرده‌اند. مقاله‌ی "بررسی و تبیین برهان گودل" اصلاً در نشریه‌ی معرفت فلسفی (سالِ دوم، شماره‌ی دوم، زمستان ۱۳۸۳، صص. ۱۳۴-۱۱۷) منتشر شده است. در متنی که وب‌سایتِ مؤسسه منتشر کرده است بعضی نمادها به‌هم ریخته است؛ پیشنهاد می‌کنم نسخه‌ی اصلی را ملاحظه کنید. از اینجا به بعد با "ب‌ت‌ب‌گ" به این مقاله ارجاع می‌دهم.

اولین جمله‌ی ب‌ت‌ب‌گ بعد از چکیده این است:


از زمان افلاطون به این سوی، اکثر فیلسوفان معرفت را به "باورِ صادقِ موجه" تعریف کرده‌اند.


(در انتهای مقاله در توضیحِ این جمله در یادداشتِ ۳ ارجاع داده‌اند به اثری از آقای منصور شمس. با آراءِ آقای شمس آشنا نیستم؛ اما یادِ جمله‌ای از صفحاتِ 7 و 8-ِ کتابِ پلنتینگا می‌افتم که می‌گوید که، از شوخیِ روزگار، یافتنِ نمونه‌های زیادی از بیان‌های مصرّحی پیش از مقاله‌ی گتیه که معرفت را چونان باورِ صادقِ موجه تحلیل کرده باشند آسان نیست—"تقریباً تو گویی منتقدِ برجسته‌ایْ سنــّتی را در خودِ همان عملِ ویران‌کردن‌اش خلق کرده باشد.")  در همین پاراگراف آمده:


امروزه در پاسخ به این پرسش که "معیار موجه بودن معرفت چیست؟" دیدگاه‌های مختلفی مطرح می‌شود که رایج‌ترین آنها نظریه مبناگروی و نظریه انسجام‌گرایی است. [یادداشتِ شماره‌ی ۴ در انتهای مقاله در توضیحِ این جمله: ۴- هم‌اندیشی معرفت‌شناسی، متن پیاده شده سلسله مباحث اساتید محترم: محمدتقی مصباح یزدی، محمد لگنهاوزن، غلامرضا فیاضی و صادق لاریجانی (ایّدهم اللّه)، جلسه یازدهم، ص ۱.] از میان این دو نظریه مبناگروی بیشتر کانون توجه بوده و می‌توان پیشینه آن را در یونان باستان، به‌ویژه در اندیشه‌های ارسطو پی‌گرفت.


حدس می‌زنم سؤالِ موردِ نظرشان این بوده باشد که ملاکِ موجه‌بودنِ باور (و نه ملاکِ موجه‌بودنِ معرفت) چیست. در هر صورت، بحث را در پاراگرافِ بعدی ادامه داده‌اند:


   به هر حال پیشینه مبناگروی هیچ گونه مصونیتی برای آن به همراه نداشته و در کتاب‌های معرفت‌شناسی نقدهای مختلفی بر آن وارد شده است. با مطالعه کتاب‌ها و مقالاتی که در زمینه معرفت‌شناسی نگارش یافته با نقدها و اشکال‌های مختلفی روبه‌رو می‌شویم. از جمله این نقدها ایرادی است که کورت گودلِ ریاضی‌دان و منطق‌دان در قالب برهان ریاضی بر این نظریه وارد کرده است.


من از این چند جمله این‌طور می‌فهمم—و شاید قصدِ نویسنده‌ی ب‌ت‌ب‌گ گفتنِ این نبوده—که اصلاً یکی از هدف‌های گودل از انتشارِ مقاله‌اش (در سالِ ۱۹۳۱، که ادموند گتیه چهارساله بوده) نقدِ مبناگروی در معرفت‌شناسی بوده است. این موضوع برای من غریب است. در توضیحِ آخرین جمله‌‌ای که نقل کردم نویسنده‌ی ب‌ت‌ب‌گ در یادداشت‌های آخرِ مقاله یک جمله (به انگلیسی) از کواین نقل کرده (نسبیتِ هستی‌شناختی و جستارهای دیگر، ص. 70)، که توضیحِ استاندارد و کلـّی‌ای است درباره‌ی محتوای ریاضیِ قضیه‌ی اولِ ناتمامیت، و در موردِ ارتباطِ موضوع با مبناگروی راه‌گشا نیست، یا برای منِ نیست. تصورِ من این است که وقتی می‌خواهیم نشان بدهیم که قضیه‌ی گودل با مبناگروی تعارضی ندارد بهتر است مقداری در موردِ این تعارضِ ادعایی توضیح بدهیم—اینکه دقیقاً چیست و چرا برخی گمان کرده‌اند وجود دارد. در ب‌ت‌ب‌گ در موردِ مبناگروی توضیحاتی هست (کمی کمتر از یک صفحه)، اما در موردِ تعارضِ قضیه‌ی گودل با مبناگروی چیزی چندان بیشتر از یادداشتِ شماره‌ی ۱۰ ندارد، یا من نیافته‌ام:


برخی وجه تعارض برهان گودل با مبناگروی را این گونه بیان کرده‌اند که با فرض یک مجموعه از گزاره‌ها، باورها یا معرفت‌ها همیشه یک گزاره، باور یا معرفتی وجود خواهد داشت که هم صادق است و هم قابل استنتاج از گزاره‌های پایه نیست.


(و این جمله—با هر میزان دقت و روشنی که دارد—دنبال می‌شود با ارجاع به صفحه‌ای از کتابی.)

اما اگرچه ب‌ت‌ب‌گ توضیح نداده‌ که چگونه است که برخی فیلسوفان قائل شده‌اند به وجودِ تعارضی بین قضیه‌ی گودل و مبناگروی، باری به‌تفصیل—و طی دوازده مرحله—به یک برهانِ (قدیمیِ) قضیه‌ی اولِ ناتمامیت  پرداخته ‌است (صص. ۱۲۸-۱۲۰). این البته می‌تواند انتخابِ درستی در موردِ تخصیصِ صفحاتِ مقاله به موضوعات باشد چرا که یک مدعای ب‌ت‌ب‌گ این است که برهانِ گودل—یا برهانِ شروحِ موردِ استفاده‌ی نویسنده‌ی مقاله—برای چیزی که به "قضیه‌ی اولِ ناتمامیت" مشهور است اساساً مغالطه است (ص. ۱۳۱):


حال گودل در بیان پیچیدهٔ خود مرتکب جهش از احکام گزاره‌های درجه اول به احکام گزاره‌های درجه دوم شده است، و همین جهش باعث شده تا بیان برهان‌نمای او چیزی نباشد جز یک مغالطه.


و در صفحه‌ی بعد:


به تعبیر ساده‌تر می‌توان گفت که در بیان گودل بین احکام در حساب و احکام دربارهٔ حساب خلط شده است.


اینکه قضیه‌ی ناتمامیت را ده‌ها سال است که در کلاس‌های منطق درس می‌دهند البته دلیلِ عقلیِ قاطعی برای درستی‌اش (یا درستیِ برهان‌های مشهور‌ش) نیست: منطقاً محال نیست که ده‌ها سال ریاضی‌دانان و منطق‌دانان در آن تأمل کرده باشند و متوجه نشده باشند که گودل بینِ احکامِ حسابی و احکامِ درباره‌ی حساب خلط کرده است. محال نیست، اما به نظرم اقتضای تواضعِ علمی این است که احتمالی هم بدهیم که در این چند دهه کسانی بوده ‌باشند که دست‌کم به اندازه‌ی ما باهوش بوده‌اند؛ اگر ردّیه‌ای یک‌صفحه‌ای بر مطلبی این‌قدر جاافتاده داریم، به نظرم بهتر است در انتشارش احتیاط کنیم. حتی اگر گمان کنیم هیوم یا مارکس یا داروین یا فروید را در یک صفحه رد کرده‌ایم باید زنگِ خطری در گوشِ آکادمیک‌مان به صدا درآید، چه رسد به اینکه بدانیم که در کتاب‌های ریاضی و منطقی ادعا کرده‌اند که برای چیزی که داریم علیه‌اش می‌نویسیم برهانِ ریاضی اقامه کرده‌اند.

گمان می‌کنم چندان پرفایده نخواهد بود که در اینجا درباره‌ی عددگذاریِ گودلی و لمِ قطری‌سازی صحبت کنم تا سعی کنم خواننده‌ی احتمالیِ ب‌ت‌ب‌گ را متقاعد کنم که گودل در موردِ احکامِ حسابی واحکامِ درباره‌ی حساب خلط نکرده است. اما به نظرم جالب است بدانیم که درکِ نویسنده‌ی ب‌ت‌ب‌گ از قضیه‌ی اولِ ناتمامیت چیست (ص. ۱۲۰):


      گودل با استفاده از منطق ریاضی نشان می‌دهد با فرض دستگاهی که گزاره‌های آن با استفاده از روش تأسیس اصل به اصول و قضایا تقسیم شده باشند، همیشه قضیه یا قضایایی به دست می‌آید که هم خود آنها و هم نقیضشان را می‌توان از اصول استنتاج کرد، و در نتیجه دستگاه مزبور ناسازگار است.


توجه کردید؟ می‌گویند که گودل نشان داده (یا گمان کرده که نشان داده، اگر که نقدهای مقاله صحیح باشد) که در هر دستگاهی که گزاره‌های آن الخ، قضیه‌‌‌ای هست که هم خودش قابلِ استنتاج است و هم نقیض‌اش. این‌جانب وقتی در متنِ فوقاً منقول به "می‌توان از اصول استنتاج کرد" رسیدم گمان کردم با سهو‌القلمی مواجه شده‌ام، به این صورت که نویسنده  به‌جای اینکه بنویسند که گزاره‌ای هست که نه خودش استنتاج‌پذیر است و نه نقیض‌اش (و لذا دستگاه دچارِ ناتمامیت است)، اشتباهاً نوشته‌اند که گزاره‌ای هست که هم خودش استنتاج‌پذیر است و هم نقیض‌اش؛ اما خواندنِ ادامه‌ی جمله ("و در نتیجه دستگاه مزبور ناسازگار است") نشان‌ام داد که واقعاً منظورشان همین بوده که نوشته‌اند. [لطفاً ص. ۱۲۸ را هم ببینید تا مطمئن شوید که نویسنده‌ی محترم واقعاً گمان کرده‌اند که مدعای قضیه‌ی اولِ ناتمامیت این است که دستگاه‌های موضوعِ این قضیه ناسازگارند.]

پس ما با نویسنده‌ی محترمی سروکار داریم که گمان می‌کنند گودل گمان ‌کرده که نشان داده هر دستگاهِ اصل‌موضوعی ناسازگار است. حالا غیر از اینکه از نویسنده‌ی محترم و داورانِ مجله‌ی محترمِ معرفت فلسفی دعوت می‌کنم کتابی فنـّی در منطق نشان دهند که چنین چیزی را به گودل نسبت داده باشد، از ایشان دعوت می‌کنم که در این معنا هم تأمل کنند: نویسنده‌ی ب‌ت‌ب‌گ گمان می‌کند گودل بینِ احکامِ حسابی و احکامِ درباره‌ی حساب خلط کرده و منطق‌دانان هم نوعاً متوجهِ این اشتباه نشده بوده‌اند، اما گمان نمی‌کنم نویسنده‌ی ب‌ت‌ب‌گ معتقد باشد که گودل و بقیه به‌کلـّی بی‌خرد و بی‌بهره از ابتدائیاتِ منطق بوده‌ باشند؛ حالا سؤال این است که اگر گودل و بقیه واقعاً بر آن بوده‌اند که گودل نشان داده هر دستگاهِ اصل‌موضوعی ناسازگار است، در این صورت چرا اصلاً ریاضیات را (یا ریاضیاتِ اصل‌موضوعی را) رها نکرده‌اند؟ نه آیا گمان می‌کرده‌اند که هر دستگاهِ اصل‌موضوعی منجر به تناقض می‌شود؟

در فلسفه‌ی ذهن مناقشاتی هست درباره‌ی نتایجِ قضایای ناتمامیت، و برخی اطرافِ منطق‌دانِ دعوا هم مخالفان‌شان را به نفهمیدنِ محتوای قضیه متهم کرده‌اند (مثلاً نقدِ پاتنم بر کتابِ پن‌رز را ببینید)؛ اما این اندازه از بدفهمی—خلطِ ناتمامیت با ناسازگاری—برای من تازه است. هر کس می‌تواند با هر میزان آشنایی با منطق یا هر موضوعِ دیگری، مقاله‌ای بنویسد و برای نشریه‌ای بفرستد. اما انتظارِ طبیعیِ جامعه‌ی آکادمیک این است که مقالاتِ نشریاتِ پژوهشی را قبل از انتشارْ داورانِ اهلِ فنی تأیید کرده باشند. در موردِ ب‌ت‌ب‌گ با اختلافِ نظر در موردِ موضوعی فلسفی طرف نیستیم؛ با بدفهمیِ آشکاری در موردِ یک قضیه‌ی بسیارِ ریاضی مشهور طرف هستیم.

و البته جالبِ توجه است که وب‌گاهِ رسمیِ مؤسسه‌ی پژوهشیِ بزرگی چنین مقاله‌ای را چندین سال بعد از انتشارِ نسخه‌ی اصلی مجدداً منتشر می‌کند.

۸ نظر:

  1. مدتی است که حالم بد است از فضای - غیرعلمی - دانشگاه؛ از پایان نامه های کارشناسی ارشد بی مایه که نمره ی 19 یا بالاتر می گیرند؛ از پایان نامه های دکتری بی مایه تر که *بی مایه تر* بودنشان به اعتبار انتظار بیشتری است که از آنها می رود؛ از فضای پر تعارف جلسات دفاع؛ از بده بستون های استادها؛ از ....
    بارها فکر کردم چه قدر ارزش دارد که زمانی را صرف *تحصیل* در چنین فضایی بکنم؟ برای من که تنها انگیزه ام از ادمه تحصیل، بالا بردن سطح دانشم و انجام کاری *علمی* بوده است، در چنین شرایطی چه تضمینی برای تحقق این انگیزه ها وجود دارد؟ چه قدر می توان مطمئن بود که قضاوت هایی که درباره ی کار من می شود، علمی و منصفانه هستند؟ ....
    و حالا دارم می خوانم که در نشریه ای *معتبر* در حوزه ای، "با بدفهمیِ آشکاری در موردِ یک قضیه‌ی بسیار مشهور طرف هستیم." قضیه ای که بسیاری از دانشجویان سال سه رشته ی ریاضی، آن را به درستی می شناسند!
    "و البته جالبِ توجه است که وب‌گاهِ رسمیِ مؤسسه‌ی پژوهشیِ بزرگی چنین مقاله‌ای را چندین سال بعد از انتشارِ نسخه‌ی اصلی مجدداً منتشر می‌کند."
    اکنون دیگر حالم به مراتب خراب تر از پیش است! و این سوال همیشگی ذهنم را آزار می دهد که آیا در سایر کشورها هم چنین اتفاقاتی می افتد؟
    پی نوشت: تمام قضاوت های بالا، درباره ی گرایشی خاص از رشته ای در دانشکده ای خاص است.

    پاسخحذف
  2. بیدادگری شیوه‌ی مرضیه نمی شد
    این شهراگر دادرس و دادگری داشت
    صادق سرمد (1339-1286)

    پاسخحذف
    پاسخ‌ها
    1. مرتیکه؛
      چه دقیق اشاره کرده اید به این که در این "شهر" دادگر و دادرسی نیست. همین موضوع است که آزاردهنده است! فقط شاید بتوان امیدوار بود که نقدها و تذکرهای علنی یا غیرعلنی، موجب شوند که چنین رفتارهای نادرست کمتر رُخ بدهند یا رُخ ندهند. می دانید مثل چیست؟ مثل زمانی که مردی مخفیانه دختری را در اتوبوس شلوغی آزار می دهد. تا وقتی که دختر آرام و بی صدا تنها خود را جمع و جور و دورتر می کند، حوزه ی عمل آن مرد توسعه می یابد. ولی به محض این که دختر داد و فریاد کند و به قول معروف، بی آبرویی راه بیندازد، آن مرد است که خود را جمع و جور می کند!
      گرچه بسیاری از نوشته های تذکری کاوه علنی و فراگیر نیستند، ولی امیدوارم تا حدی سبب *جمع و جور* شدن بعضی ها بشود.

      حذف
  3. جناب لاجوردی، در مورد این نوشته و انتقادهایتان البته شما حق دارید و اشتباهاتی این چنین حقیقتا مایه شرمساری است. با اینحال مایلم در مورد اشتباهی که در نوشته شما آمدهاست تذکر دهم. وقتی می نویسید: " شاید قصدِ نویسنده‌ی ب‌ت‌ب‌گ گفتنِ این نبوده—که اصلاً یکی از هدف‌های گودل از انتشارِ مقاله‌اش (در سالِ ۱۹۳۱، که ادموند گتیه چهارساله بوده) نقدِ مبناگروی در معرفت‌شناسی بوده است. این موضوع برای من غریب است." تلویحا تصدیق می کنید که نوشته گتیه در مورد مبناگروی (Foundationalism) بوده است که مطلقا چنین نیست. گتیه در آن نوشته معروف تنها به انتقاد از تحلیل سنتی از مفهوم معرفت می پردازد. Foundationalism به شیوه ای که توسط عموم معرفت شناسان قائل به آن (مثلا آودی، پرایور و دیگران) فهمیده می شود مستقل از مشکل گتیه است. مبناگرایی نظریه ای در باب فهم موجه سازی است و نه در باب احصای تمام شروط لازم و کافی معرفت. شما می توانی مبناگرا باشی و به شرط چهارمی در تحلیل معرفت معتقد باشی یا نباشی و آن شرط چهارم را بدانی یا ندانی. البته کسانی که طرفدار مبناگروی نیستند (به درست یا نادرست، و در مورد پلنتینگا که احتمالا به نادرست) بر این باورند که نظریه معرفت شناسانه ی آنها در مقابل مشکل گتیه مقاوم است. مثلا یکی از راه حل های خلاص شدن از شر مشکل گتیه این است که تلقی شما از معرفت بکلی متفاوت از تلقی سنتی باشد تا جایی که در آن اصلا مفهوم توجیه نباشد (مثلا نظریه علی). البته این مزیت اینگونه تلقی های غیر استاندارد است که مقاوم ترند در برایر مشکل گتیه. اما، نکته ی مهم این است که قطعا اشتباه است که هدف حمله گتیه را مباگرایان بدانیم و عموم معرفت شناسان مشکل گنیه را دلیلی بر رد مبناگروی نمی دانند. بهرحال، لحن مطایبه آمیز شما سبب می شود در جایی هایی دقت را فروگذار کنید که برازنده ی شما نیست.

    پاسخحذف
    پاسخ‌ها
    1. سلام.

      با تلقیِ شما از مقاله‌ی گتیه موافق‌ام (غیر از اینکه، با جدی‌گرفتنِ قولی که از پلنتینگا نقل کردم، شک دارم که بشود گفت نظری که گتیه به آن حمله کرده واقعاً نظرِ "سنتی" بوده باشد). مشخصاً: من گمان نکرده بوده‌ام که مقاله‌ی گتیه در نقدِ مبناگروی است. اشاره‌ی من به گتیه برای این است که از نحوه‌ی ورودِ آقای عبدی به بحث این‌طور می‌فهمم--و شاید اشتباه کنم--که از نظرِ ایشان سیرِ وقایع به این صورت بوده است:

      1. از زمانِ افلاطون بیشترِ فیلسوفان بر آن بوده‌اند که معرفت را می‌شود چونان باورِ صادقِ موجه تحلیل کرد.

      2. در دهه‌های اخیر [احتمالاً از گتیه به بعد] این نظر را نقد کرده‌اند و به‌ویژه به موضوعِ توجیه پرداخته‌اند.

      3. مبنا گروی یک نظرِ قالب در موردِ توجیه است.

      4. گودل به مبناگروی حمله کرده است.

      اگر سیرِ وقایع از نظرِ آقای عبدی این بوده، در این صورت این یادآوریِ نامربوطی نیست که گتیه در زمانِ انتشارِ مقاله‌ی گودل چهارساله بوده است.

      قصدِ من شوخی نبود و این بود که اطلاعی در موردِ گتیه و گودل بدهم؛ اما با خواندنِ یادداشتِ شما متوجه شدم که می‌شود معترضه را مطایبه‌آمیز تلقی کرد. بسیار ممنون بابتِ تذکرتان.

      حذف
    2. ممنون از پاسخ خوبتان.

      حذف
  4. مزخرفات بسیاری به مجلات مختلف فرستاده می شوند. هنوز کسانی اثباتهایشان برای تربیع دایره را به مجلات ریاضی می فرستند. چنین نویسندگانی وجود دارند و همیشه وجود خواهند داشت.

    اما مشکل مفت خورهای بی سوادی هستند که چنین به اصطلاح مقالاتی را چاپ می کنند. مدیر مسئول احمق(این توهین نیست، توصیف است)، ویراستاران و بقیه ی اشخاصی که مسئول چاپ چنین مهملاتِ شرم آوری هستند.

    پاسخحذف
  5. نمی تونه این مشکلات ناشی از عدم ارائه ی مقالات قوی به مجله باشه؟ و علاقه ی محققین طراز بالا بیشتر به ارسال مقالات به مجلات خارجی باشد؟ یا این که با وسواس بیش از حد از نوشتن نظریاتشان خودداری کنند؟منظورم اینه که به هر حال این مجلات موظفند که با توسعه ی کمی و ارائه ی آمار خود را فعال در عرصه ی علمی نشان بدهند و اگر مقالات ارسالی به مجله ( که چهارچوب ها را هم رعایت کرده اند) همگی از نوع خیلی ضعیف باشند مثلا مجبور شوند وجبی، کیلویی، رفاقتی و ... انتخاب کنند.

    پاسخحذف