ه‍.ش. ۱۳۹۳ بهمن ۱۱, شنبه

"Simplex sigillum veri"




موضوعِ جلسه‌مان این بود که شیبِ خط‌های عمود بر هم (اگر که شیب‌شان تعریف شده باشد) چه رابطه‌ای دارند. متقاعد شدیم که حاصل‌ضربِ شیب‌ها حتماً منفی است چرا که هم‌علامت نیستند. شکلی کشیدیم و، با استفاده از این قضیه‌ی آشنا که ارتفاعِ وارد بر وترْ واسطه‌ی هندسیِ قطعه‌های ساخته‌شده بر وتر است، اثبات کردیم که حاصل‌ضربِ قدرمطلقِ شیب‌ها مساویِ یک است. نتیجه گرفتیم که شیب‌ها عکسِ قرینه‌ی هم‌اند.

بعد، وقتی داشتیم مثالی را بررسی می‌کردیم که معادله‌ی خطی عمود بر خطِ داده‌شده‌ای را می‌خواست، توجه کردیم که آنچه داریم از آن استفاده می‌کنیم عکسِ چیزی است که اثبات کرده‌ایم: دیدیم که لازم داریم این را بدانیم که اگر شیبِ دو خطْ عکسِ قرینه‌ی هم باشند آنگاه آن دو خط بر هم عمودند. در هر کلاس کسانی توانستند این را با به‌کارگیریِ تشابهِ مثلث‌ها اثبات کنند. من قضیه را این‌طور اثبات کردم:


فرض کنیم حاصل‌ضربِ شیب‌ِ خط‌های l1  و lمنهای یک باشدیک خطِ  برlعمود می‌کنیمطبقِ چیزی که اثبات کرده‌ایم، حاصل‌ضربِ شیب‌های و l1  منهای یک استپس شیبِ برابر است با شیبِ l(چون، طبقِ فرض، حاصل‌ضربِ شیب‌های l و lهم منهای یک است). پس و lموازی‌اند، و چون بر lعمود است، lهم بر l1 عمود است. فهو المطلوب.

یادم نمی‌آید این اثبات را جایی دیده باشم (زیاد دنبال‌اش هم نگشته‌ام)؛ اما آن‌قدر ساده است که بعید است کسی قبلاً به فکرش نرسیده باشد و در کتابی منتشر نکرده باشد. مطلوب‌تر از ساختنِ این اثبات این بود که ظرافتِ اثباتْ تعدادِ زیادی از بچه‌ها را به وجد آورد.     

۳ نظر:

  1. آخرین l در متن باید l_1 باشد. البته که من هیچ‌وقت از موهبت استادی مثل تو برخوردار نبودم و مسلماً از هر دو اثبات به وجد آمدم.

    پاسخحذف
  2. *** تانژان زاویه بین = (تفاضل تانژانت ها) تقسیم بر (یک به اضافه حاصلضرب تانژانت ها (شیب ها))
    ...> دو خط عمود هستند. پس تانژانت زاویه بین تعریف نشده. پس مخرج کسر (یک به اضافه حاصلضرب تانژانت ها یا همان شیب ها) مساوی صفر. پس حاصلضرب شیب‌ها مساوی منفی یک

    *** فرض: زاویه بین خط صعودی با جهت مثبت محور ایکس‌ها = آلفا،
    زاویه بین خط دیگر با جهت مثبت محور ایکس ها= آلفا به اضافه پی دوم
    پس حاصلضرب شیب ها=حاصلضرب تانژانت این دوزاویه.
    می دانیم تانژانت زاویه آلفا به اضافه پی دوم = منفی کتانژانت آلفا
    پس: ضرب دو تانژانت گفته شده = منفی یک
    *** محل برخورد دو خط عمود را نقطه M نامگذاری می کنیم. خط افقی گذرنده از M را رسم می کنیم. خط رسم شده را ضلع پایین یک مستطیل دلخواه در نظر می گیریم. دو مثلث قائم الزاویه ساخته می شود که در راس M مشترک هستند. این دو مثلث متشابه هستند. با نوشتن نسبت های تشابه بین اضلاع قائم، به رابطه بین شیب ها می رسیم
    *

    پاسخحذف