"Simplex sigillum veri"

موضوعِ جلسه‌مان این بود که شیبِ خط‌های عمود بر هم (اگر که شیب‌شان تعریف شده باشد) چه رابطه‌ای دارند. متقاعد شدیم که حاصل‌ضربِ شیب‌ها حتماً منفی است چرا که هم‌علامت نیستند. شکلی کشیدیم و، با استفاده از این قضیه‌ی آشنا که ارتفاعِ وارد بر وترْ واسطه‌ی هندسیِ قطعه‌های ساخته‌شده بر وتر است، اثبات کردیم که حاصل‌ضربِ قدرمطلقِ شیب‌ها مساویِ یک است. نتیجه گرفتیم که شیب‌ها عکسِ قرینه‌ی هم‌اند.

بعد، وقتی داشتیم مثالی را بررسی می‌کردیم که معادله‌ی خطی عمود بر خطِ داده‌شده‌ای را می‌خواست، توجه کردیم که آنچه داریم از آن استفاده می‌کنیم عکسِ چیزی است که اثبات کرده‌ایم: دیدیم که لازم داریم این را بدانیم که اگر شیبِ دو خطْ عکسِ قرینه‌ی هم باشند آنگاه آن دو خط بر هم عمودند. در هر کلاس کسانی توانستند این را با به‌کارگیریِ تشابهِ مثلث‌ها اثبات کنند. من قضیه را این‌طور اثبات کردم:

فرض کنیم حاصل‌ضربِ شیب‌ِ خط‌های l₁  و l₂ منهای یک باشد. یک خطِ  l برl₁ عمود می‌کنیم. طبقِ چیزی که اثبات کرده‌ایم، حاصل‌ضربِ شیب‌های l و l₁  منهای یک است. پس شیبِ l برابر است با شیبِ l₂ (چون، طبقِ فرض، حاصل‌ضربِ شیب‌های l و l₂ هم منهای یک است). پس l و l₂ موازی‌اند، و چون l بر l₁ عمود است، l₂ هم بر l₁ عمود است. فهو المطلوب.

یادم نمی‌آید این اثبات را جایی دیده باشم (زیاد دنبال‌اش هم نگشته‌ام)؛ اما آن‌قدر ساده است که بعید است کسی قبلاً به فکرش نرسیده باشد و در کتابی منتشر نکرده باشد. مطلوب‌تر از ساختنِ این اثبات این بود که ظرافتِ اثباتْ تعدادِ زیادی از بچه‌ها را به وجد آورد.