کمی مانده به مهر

در دوره‌ی شش‌هفته‌ایِ تابستان به بحثِ گویا و گنگ و قدرمطلق پرداختیم. کارکردن با این نوجوانانِ هوشمند برای من بسیار دل‌انگیز (و البته انرژی‌بَر) بوده است، و رضایت‌ام از ماندن در ایران و امیدواری‌ام به آینده را بیشتر کرده است. در طولِ سالِ تحصیلی سه روز در هفته کلاس خواهیم داشت: ریاضیاتِ اولِ دبیرستان.

این متن را یک جلسه قبل از امتحانِ میان‌ترم به دانش‌آموزان‌ام دادم. نحوه‌ی تقریرْ عامدانه با نحوه‌ی صحبت در کلاس متفاوت است.

**

گویا و گنگ: مرورِ نتایج

اثبات کرده‌ایم که عددهای صحیحِ a و bای وجود ندارند که a²=2b² . پس اثبات کرده‌ایم که به ازای هر دو عددِ صحیحِ a و b، اگر a را بر b تقسیم کنیم و حاصل را به توانِ 2 برسانیم، حاصل مساویِ 2 نمی‌شود. این یعنی که اثبات کرده‌ایم که 2√ عددی گنگ است:

تعریف. عددی را گنگ می‌گوییم که حاصلِ تقسیمِ هیچ دو عددِ صحیحی نباشد. عددِ گویا عددی است که حاصلِ تقسیمِ دو عددِ صحیح باشد. (نتیجتاً همه‌ی عددهای صحیح—اعم از مثبت و منفی و صفر—گویا هستند.) پس هر عدد اگر گویا نباشد گنگ است و بر عکس.

اثباتِ گنگ‌بودنِ 2√ را به دو روش انجام دادیم. جزئیاتِ این روش‌ها فعلاً مهم نیست؛ چیزی که مهم است این است که با یکی از این روش‌ها توانستیم این را هم نشان بدهیم که 3√ و 5√ هم گنگ هستند. حتی بیشتر از این: اثبات کرده‌ایم که

قضیه‌ی ۱. اگر عددِ صحیحِ N مربعِ کامل نباشد، آنگاه N√ گنگ است.

از قبل می‌دانستیم که اگر N مربعِ کامل نباشد آنگاه N√ عددی صحیح نیست (این امر فوراً از تعریفِ "مربعِ کامل" نتیجه می‌شود!)؛ نکته‌ی جدید برای ما این است که اگر N مربعِ کامل نباشد، آنگاه N√ حتی گویا هم نیست.

پس مثلاً اینها گنگ هستند: 6√ و 12√ و 17√.

بدونِ اثبات می‌پذیریم که π گنگ است.

این قضیه‌ را هم در موردِ عددهای گویا و گنگ اثبات کرده‌ایم:

قضیه‌ی ۲. فرض کنید a و b عدهایی گویا و w عددی گنگ باشد. در این صورتa + b و ab گویا هستند و a + w گنگ است.

(اثباتِ قضیه‌ی ۲ آسان است. اگر a و b را به صورتِ حاصلِ تقسیمِ عددهای صحیحی بنویسیم، روشن خواهد شد که جمعِ a و b، و نیز ضربِ a و b، گویا است. اما چرا a + w گنگ است؟ اگر این عدد گویا بود لازم ‌می‌بود که جمع‌اش با عددِ گویای a- هم گویا باشد (چرا می‌گوییم که a- گویا است؟). اما جمعِ a + w و a- عددِ w است که گنگ است؛ پس a + w حتماً گنگ است. می‌شود دید (چگونه؟) که اگر a ≠ 0 آنگاه aw گنگ است.)

و این را هم اثبات کرده‌‌ایم:

قضیه‌ی ۳. بینِ هر دو عددِ گویای متمایز عددِ گویای دیگری وجود دارد. بینِ هر دو عددِ گویای متمایز عددِ گنگی وجود دارد.

(فرض کنیم a و b گویا باشند و مثلاً b > a. برای اثباتِ قسمتِ اول، کافی است از a و b میانگین بگیریم. برای قسمتِ دوم روش‌های مختلفی را بررسی کرده‌ایم، از جمله اینکه nای به اندازه‌ی کافی بزرگ انتخاب کنیم و 2√ را بر n تقسیم کنیم. حاصل عدی گنگ خواهد بود. این عدد را به a اضافه می‌کنیم، که حاصل باز هم گنگ خواهد بود. حالا اگر n به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد، این عددِ گنگ کوچک‌تر از b خواهد بود.)

قضیه‌ی مهمی اثبات کرده‌ایم که شرطی لازم و کافی برای گویا بودنِ عدد به‌دست می‌دهد. به‌یاد بیاوریم که نمایشِ دهدهیِ [یا همان بسطِ اعشاریِ] عدد را متناوب می‌گوییم اگر رشته‌ای از رقم‌ها باشد که، از جایی به بعد، نمایشِ اعشاری فقط از تکرارِ آن رشته تشکیل شده باشد—چند مثال:

17.444444... 
[تکرارِ 4 بلافاصله بعد از ممیز]

14.13791414141414... 
[تکرارِ 14 از رقمِ پنجم به بعد]

-8.200000... 
[تکرارِ 0 از رقمِ سوم به بعد؛ طبیعی‌تر آن است که این را به شکلِ 8.2- بنویسیم]

0.142857142857142857... 
[تکرارِ 142857 بلافاصله بعد از ممیز]

قضیه‌ی ۴.

(الف) نمایشِ دهدهیِ عددهای گویا متناوب است.

(ب) هر عددی که نمایشِ دهدهیِ متناوب داشته باشد گویا است.

(برای اثباتِ‌ (الف) توجه کردیم که اگر عددِ صحیحِ a را بر عددِ صحیحِ b تقسیم کنیم تا نمایشِ دهدهیِ حاصلِ تقسیمِ a بر b را بنویسیم، دیر یا زود یکی از باقی‌مانده‌ها تکرار می‌شود؛ از این لحظهِ در نمایشِ دهدهی با تکرار مواجه می‌شویم. برای(ب)، دستورالعملی معرفی کردیم که، از روی نمایشِ دهدهیِ متناوب، عددِ گویایی با آن نمایشِ دهدهی به‌دست بیاوریم.)

قضیه‌ی ۴ قضیه‌ی نیرومندی است. از جمله به ما امکان می‌دهد اثبات کنیم که بینِ هر دو عدد (اعم از گویا و گنگ) عددِ گویایی وجود دارد (چگونه؟). نیز، نشان می‌دهد که در نمایشِ دهدهیِ 2√ تناوب وجود ندارد (چرا که اگر این نمایش متناوب می‌بود، آنگاه—مطابقِ (ب)—لازم بود 2√ گویا باشد).

از بدفهمیِ شایعی اجتناب کنیم. این‌طور نیست که ویژگیِ مشخص‌کننده‌ی عددهای گنگ این باشد که نمایشِ دهدهی‌شان بی‌پایان است: مثلاً نمایشِ دهدهیِ ⅔ این است:

0.66666...

که متشکل است از تعدادِ بی‌پایانی 6. اصلاً به یک معنا همه‌ی نمایش‌های دهدهی بی‌پایان‌اند (8.2- را به‌یاد بیاورید). آنچه قضیه‌ی ۴ می‌گوید این است که ویژگیِ مشخص‌کننده‌ی عددهای گنگ این است که نمایش‌های دهدهی‌شان نامتناوب است. این‌طور هم نیست که ویژگیِ عددهای گنگ این باشد که نمایشِ دهدهی‌شان "بی‌قاعده" است. مثلاً این عدد را در نظر بگیرید:

2.71771777177771...

در نمایشِ دهدهیِ این عدد، قاعده این است که ابتدا یک 7 می‌آید و یک 1، بعد دو 7 و یک 1، بعد سه 7 و یک 1، و به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند. این عدد گنگ است نه به این دلیل که برای نمایشِ دهدهی‌اش قاعده‌ای وجود ندارد (قاعده را همین الآن دیدیم که چیست!)، بلکه به این دلیل که آنچه بعد از ممیز می‌آید متناوب نیست، یعنی رشته‌ای نیست که، از جایی به بعد، آن رشته تکرار شود.