خطایی مشهور در استدلال‌های احتمالاتی [پی‌نوشت دارد]

کتابِ ریاضیاتِ سالِ دهم (دبیرستان) بحثِ کوتاهی در احتمال دارد. اینکه دانش‌آموزانِ من همگی باهوش و خوب‌اند به من امکانِ این تجمل را داده است که، قبل از ورود به محتوای رسمیِ آموزش‌وپرورش، دو جلسه‌ی کامل را به مسائلِ مشهوری در احتمال بپردازم:‌ یکی برای نشان‌دادنِ اینکه تعریفِ احتمال در فضاهای نامتناهی اصلاً بدیهی نیست، دومی برای نشان‌دادنِ اینکه شهودهای اولیه‌ی ما گاهی به‌شدت بر خطا است. (این دومی را بعد از معرفیِ احتمالِ شرطی به شکلِ قاطعانه‌ای حل‌وفصل کردیم، و به نظرم دیدنِ اینکه قضیه‌ای ریاضی می‌تواند مناقشه‌ای را برطرف کند تجربه‌ی مطبوعی بوده باشد.)

اما مسأله‌ی سومی هم مطرح کردیم که، با اینکه از جنسِ دو مسأله‌ی اول نبود و به‌سرعت متقاعد شدیم که جوابِ صحیح‌اش چیست، صحبت با دوستانِ غیرریاضی‌دان متقاعدم کرد که انتشارش در اینجا می‌تواند مفید باشد. مسأله مقدماتی و مشهور است، اما ظاهراً (دست‌کم در اطرافِ من) چندان شناخته‌شده نیست. 

فرض کنید آزمایشی برای بیماری‌ای داریم که دقت‌اش بالا و مثلاً 98 درصد است، به این معنا که

اولاً‌ مثبتِ کاذب‌‌اش 2 درصد است: در فقط 2 درصد از موارد اگر کسی سالم باشد آزمایشْ او را بیمار اعلام می‌کند (پس در 98 درصد از موارد، اگر کسی سالم باشد آزمایش او را سالم اعلام می‌‌کند)؛ و ثانیاً منفیِ کاذب‌اش هم 2 درصد است: در فقط 2 درصد از موارد، اگر کسی بیمار باشد آزمایش او را سالم اعلام می‌کند (پس در 98 درصد از موارد، اگر کسی بیمار باشد آزمایش او را بیمار اعلام می‌کند).

حالا سؤال این است: فرض کنیم شخصی را به‌تصادف انتخاب کرده‌ایم و آزمایش کرده‌ایم و جوابْ مثبت بوده است (یعنی آزمایش می‌گوید که او بیمار است)؛ چقدر احتمال دارد که او واقعاً بیمار باشد؟ 

اگر جواب‌تان 98 درصد است دارید اشتباه می‌کنید. یک راهِ پی‌بردن به اشتباهْ این است که تعریفِ "مثبتِ کاذب" را با دقت بخوانید و ببینید که درباره‌ی این است که اگر کسی سالم باشد آنگاه آزمایش با چه احتمالی او را بیمار اعلام می‌کند، اما سؤالِ ما عکسِ این را می‌پرسد: می‌پرسد که اگر آزمایشْ کسی را بیمار اعلام کند، آنگاه او با چه احتمالی بیمار است. اما بگذارید جورِ ملموس‌تری به این موضوع بپردازیم. 

فرض کنیم جمعیتِ جامعه سیصدمیلیون باشد، و فرض کنیم که دومیلیون نفر از این افراد دچارِ بیماری‌ای باشند که داریم در موردِ آزمایشِ تشخیص‌اش صحبت می‌کنیم. حالا فرض کنیم که اصلاً از همه‌ی این جمعیتِ سیصد‌میلیونی آزمایش بگیریم. نتیجه چه می‌شود؟

۱. از بینِ دومیلیون بیمار، 1,960,000 نفرشان بیمار اعلام می‌شوند (چون منفیِ کاذب 0.02 است)؛

۲. از بینِ دویست‌ونودوهشت‌میلیون سالم، 5,960,000 نفرشان بیمار اعلام می‌شوند (چون مثبتِ کاذب 0.02 است).

پس تعدادِ کلّ کسانی که بیمار اعلام می‌شوند برابر است با 7,920,000، در حالی که (بنا به فرض) تعدادِ کلّ بیمارانِ واقعی 2,000,000 است. این یعنی اینکه فقط 25.25 درصد از کسانی که بیمار اعلام می‌شوند واقعاً بیمار هستند. اگر شخصی به‌تصادف انتخاب شده باشد و این آزمایش در موردش بگوید که بیمار است، به احتمالِ نزدیک به هفتادوپنج درصد او بیمار نیست. 

جوابِ سؤالِ اصلیِ ما این است: بستگی دارد به اینکه چه درصدی از کلّ جمعیتْ بیمار باشند.

پی‌نوشت (پنجمِ اسفند). در یادداشت‌ها به‌درستی تذکر دادند که در محاسبات اشتباهی رخ داده بود. اعداد اصلاح شد، به شکلی که حالا دقتِ آزمایش 98 درصد است (مثبتِ کاذب و منفیِ کاذب حالا هر دو 2 درصد فرض شده‌اند). ارجاع به آمارِ آلودگی به اچ‌آی‌وی در ایالاتِ متحده را حذف کردم. و به گمان‌ام حرفِ اصلی هنوز برجا است: این سؤال که اگر نتیجه مثبت اعلام شود احتمالِ آلودگی چقدر است جواب‌اش  وابسته است به نسبتِ تعدادِ آلوده‌شدگان به کلّ جمعیت—مثلاً با عددهای ذکرشده و با دقتِ نودوهشت‌درصدی، احتمالِ آلوده‌بودن به شرطِ مثبت‌بودن فقط کمی بیشتر از بیست‌وپنج درصد است. مثالی که در کلاس مطرح شد مثالِ دومِ مدخلی از ویکیپدیا است که در پاراگرافِ دومْ نشانی‌اش به شکلِ پیوندِ در متن آمده. بابتِ اشتباه متأسف‌ام، و خوب است حواس‌ام باشد که در ساعتِ چهارِ صبح سعی نکنم مثال‌ام را جالب‌تر کنم.