ه‍.ش. ۱۳۹۴ دی ۳, پنجشنبه

ویتگنشتاین و قضیه‌ی اولِ ناتمامیت [پیش‌نویس]

[این متن را دو-سه روز پیش از سومین همایش سالانه‌ی انجمن منطق برای خودم نوشتم تا ذهن‌ام را مرتب کنم. حدودِ‌ هشتاد درصد از بخشِ I و حدودِ نیمی از بخشِ II را در جلسه گفتم.]


I.   بخشِ ریاضی-منطقی

الف. همه‌جا منظورم از T نظریه‌ای است اصل‌موضوع‌پذیر در زبانِ حساب، و فرض می‌کنم که T توسیعی است از Qی رابینسن (Q مجموعه‌ای است از هفت اصل‌موضوع که بعضی خاصیت‌های جمع و ضرب را بیان می‌کند—این نظریه حتی از PAی منهای استقراء هم ضعیف‌تر استمثلاً Q مستلزمِ این نیست که ضربْ جابه‌جایی است). مگر در یک جا که به خلاف‌اش تصریح خواهم کرد، فرض می‌کنم که T سازگار هم هستگودل و ویتگنشتاین در موردِ نظامِ پرینکیپیا متمتیکا (PMصحبت می‌کنند، اما تغییرِ نظریه‌ی زمینه به (توسیعی ازQ باعثِ بدفهمیدنِ نظرهایشان نخواهد شد.

منظورم از عددگذاریِ گودلی هر تابعی است که به هر دنباله‌ی متناهی از نمادهای حسابْ عددی طبیعی نسبت دهد با این ویژگی‌هایک‌به‌یک است، محاسبه‌پذیر است (به مفهومی شهودی)، و به ازای هر عددِ طبیعی این هم (به همان مفهومِ شهودیمحاسبه‌پذیر است که آیا آن عدد عددِ گودلِ عبارتی هست یا نه، و، اگر هست، آن عبارت چیستروش‌های مختلفی برای عددگذاریِ گودلی موجود است، و روشی که امروزه متداول‌تر است آنی نیست که گودل در ۱۹۳۱ به‌کار گرفته است (روشِ محبوبِ امروزی اساساْ از کواین است)؛ اما برای مقاصدِ ما مهم نیست که جزئیاتِ کار چیست؛ مهم این است که عددگذاریِ گودلی‌ای هستاین عددگذاری را می‌توان به دنباله‌های متناهی از دنباله‌های متناهیِ زبانِ حساب هم گسترش داد.

با دردست‌داشتنِ یک عددگذاریِ گودلی، می‌شود (به روشی که قضیه‌ی مشهور به لمِ قطری‌سازی فراهم می‌کندیک جمله‌ی G ساخت که (T ⊢ G ↔ -Pr(#Gدر موردِ Pr به‌زودی توضیح خواهم داد که محمولِ اثبات‌پذیریِ T است؛ Gاسمِ رسمیِ عددِ گودلِ G است، یعنی اگر عددِ گودلِ G مساویِ n باشد، Gعبارتِ n است که متشکل است از نمادِ صفر که به دنبال‌اش nتا نمادِ تالی آمده استاحساسِ ما این است—و بخشی از صحبت‌های من در موردِ موّجه‌بودن یا نبودنِ این احساس است—که G را می‌توان این‌طور تعبیر یا ترجمه کرد: "من اثبات‌پذیر نیستم". این جمله‌ی G جمله‌ای است که گودل در مقاله‌ی بسیار مشهورِ ۱۹۳۱اش می‌سازد و نشان می‌دهد که اثبات‌پذیر نیست و—با فرضی بیش از فرضِ سازگاریِ T—نشان می‌دهد که ابطال‌پذیر هم نیست.


ب. دیدنِ اینکه G اثبات‌پذیر نیست ساده است—یا ساده است اگر که بعضی نتایجِ حسابی‌سازیِ نحو را (که به آنها اشاره‌ای خواهم کردبدانیمیکی از این نتایج این است که به ازای هر جمله‌ی φ از زبانِ حساب، اگر

T ⊢ φ

آنگاه

.(T ⊢ Pr(#φ

خب، حالا اگر فرض کنیم که T جمله‌ی G را اثبات می‌کند، نتیجه می‌شود که T اولاً جمله‌ی (Pr(#G- را اثبات می‌کند چرا که، طبقِ نحوه‌ی ساخت، (T ⊢ G ↔ -Pr(#G، و ثانیاً، طبقِ چیزی که در موردِ خاصیتِ محمولِ Pr گفتیم،T جمله‌ی (Pr(#G را اثبات می‌کندپس نتیجه می‌شود که T ناسازگار استپسT جمله‌ی G را اثبات نمی‌کند. (دیگر تکرار نخواهم کرد که فرض کرده‌ایم که سازگار است.) به‌زودی خواهیم دید که، با یک فرضِ اضافی، Gهم اثبات‌ناپذیر است—یعنی G در T تعیین‌ناپذیر [undecidable] است.


پحسابی‌سازی در پنج دقیقهرابطه‌ی Proof را در نظر بگیرید که این‌طور تعریف‌اش می‌کنیمبینِ عددهای طبیعیِ a و b برقرار است اگرر a عددِ گودلِ دنباله‌ای از فرمول‌ها باشد که برهانی است بر پایه‌ی جمله‌های T برای جمله‌ای که عددِ گودل‌اش b استیعنی اگر مثلاً در Q برهانی بنویسید برای اینکه 12 7 + [ملاحظه می‌فرمایید که من با کانت آشنا هستم!]، این برهان دنباله‌ای است متناهی از چند فرمول که آخرین‌شان همین حکم است و هر کدام از بقیه‌ی فرمول‌ها یا اصلی است منطقی یا یکی از اصولِ موضوعِ Q است یا از دو تا از جمله‌های قبلیِ دنباله با اِعمالِ قاعده‌ای منطقی (مثلاً با اِعمالِ وضعِ مقدمبه‌دست آمده استحالا اگر a را عددِ گودلِ آن برهان‌ (اعنیعددِ گودلِ آن دنبالهو b را عددِ گودلِ "12 7 + 5بگیریم، بنا بر تعریفْ رابطه‌ی Proof بینِ این دو عدد برقرار استبا مفروض‌بودنِ عددگذاری‌ای گودلی، و با مفروض‌بودنِ اینکه T اصل‌موضوع‌پذیر است (که معنایش این است که مجموعه‌ای از جمله‌ها هست که نتایجِ منطقی‌اش دقیقاً همان نتایجِ منطقیِ T است و بررسیِ عضویت‌داشتن یا نداشتن در آن مجموعه امری است محاسبه‌پذیر)، دست‌کم شهوداً روشن است که اینکه رابطه‌ی Proof بینِ دو عدد برقرار هست یا نه امری است محاسبه‌پذیر.

مدلِ ریاضیِ مفهومِ تابعِ محاسبه‌پذیر چیزی است که به آن می‌گویند تابعِ بازگشتی، و می‌توان به‌راحتی نشان داد که، با مفروضاتِ ما، رابطه‌ی Proof بازگشتی است (یعنی این تابع بازگشتی استتابعی که به زوجِ‌ مرتبِ a و b عددِ را نسبت می‌دهد اگر این دو عدد با هم رابطه‌ی Proof داشته باشند، و را نسبت می‌دهد اگر نداشته باشند). اما قضیه‌ی شناخته‌شده‌ای در منطق هست با این محتوا که هر توسیعِ Q هر تابعِ بازگشتی را نمایش می‌دهد (به معنایی که در ضمیمه توضیح داده‌ام)، که نتیجه‌اش این است که یک فرمولِ (PROOF(x,y در زبانِ حساب هست که به ازای هر فرمولِ φ از زبانِ حساب،

اگر n عددِ گودلِ اثباتی برای جمله‌ی φ باشد، آنگاه (T ⊢ PROOF(n,؛
اگر n عددِ گودلِ اثباتی برای جمله‌ی φ نباشد، آنگاه (T ⊢ -PROOF(n,.

و نهایتاً اینکه، طبیعتاً، (Pr(y یعنی (xPROOF(x, y.

با این فرض که همه‌ی جمله‌های T در N (مدلِ استانداردِ حسابصادق‌اند، نتیجه می‌شود که به ازای هر جمله‌ی φ و هر عددِ طبیعیِ n،

(*) (N ⊨ PROOF(n,#φ اگر و فقط اگر n عددِ گودلِ اثباتی برای φ باشد.



تدیدیم که G در T اثبات‌ناپذیر استمی‌شود پرسیدآیا صادق است؟ و بیایید صریح‌تر بپرسیمآیا G در N صادق است؟ خب، ما می‌دانیم که هر عددِ طبیعیِ nای که در نظر بگیریم، این n عددِ گودلِ اثباتی برای G نیست (چون چنین اثباتی وجود ندارد)؛ پس،‌ طبقِ (*) به ازای هر عددِ طبیعیِ n، جمله‌ی (PROOF(n,#G در N کاذب استپس G در N کاذب استتوجه کنید که این استدلال این را مفروض گرفته است که N مدلی است برای Tو توجه کنید که اگر M مدلی غیراستاندارد برای T باشد، آنگاه روشن نیست که به این روش بشود استدلال کرد که G در M صادق است. (اگر G در چنین Mای صادق باشد، آنگاه mای در عالمِ سخنِ این مدل هست که


⊨ PROOF[m,#G],

اما چون این m می‌تواند عددِ استانداردی نباشد، از این موضوع نمی‌شود نتیجه‌ی بدیهی‌ای در موردِ رابطه‌ی اثبات گرفتوانگهی، می‌دانیم که به هر حال در بعضی مدل‌های T جمله‌ی G کاذب است—وگرنه G قضیه‌ی T می‌بود.)

صدقِ G در N توجیه‌کننده‌ی یک بیانِ مشهورِ قضیه‌ی اولِ ناتمامیت است، که عبارت است از اینکه "جمله‌هایی هستند که صادق‌اند و اثبات‌ناپذیر". چند نکته در موردِ این بیانِ مشهوراول اینکه روشن نیست که استدلال در موردِ صدقِ جمله‌ی گودل در مدلِ استاندارد را بتوان در حساب صوری کرد—حتی معقول به‌نظر می‌رسد که حدس بزنیم که نمی‌شود صوری‌اش کرددوم اینکه اگر هدف‌مان رسیدن به این حکم باشد که جملاتِ صادقِ اثبات‌ناپذیری وجود دارند، در این صورت خیلی مهم نیست که خودِ همین جمله‌ی G صادق باشدبالاخره، هر جمله‌ی تعیین‌ناپذیری که وجود داشته باشد، نقیض‌اش هم اثبات‌ناپذیر است، و هر جمله‌ای هم در N یا صادق است یا کاذب؛ پس بالاخره جمله‌ی صادقِ اثبات‌ناپذیری وجود داردهمچنین است برای هر مدلِ دیگری از Tسوم اینکه، بر من معلوم نیست چرا بر دوگانه‌ی صدق/اثبات این‌قدر تأکید می‌شودمی‌شود این را هم گفت که، بنا به قضیه‌ی ناتمامیت، جملاتِ کاذبِ ابطال‌ناپذیری وجود دارند.


ثاما به هر حال ممکن است به دلیلی به خودِ جمله‌ی G علاقه‌مند باشیم، مثلاً به این دلیل که (با کمی تلاش می‌شود دید کهG معادل است با این حکم که T سازگار است—یعنی این حکم که (Pr(#0 = 1-. در این صورت شاید برایمان مهم باشد که بدانیم که آیا/چرا می‌شود G را این‌طور فهمید که می‌گوید که G (یعنی خودشاثبات‌پذیر نیستبا این فرض که N مدلی برای T است، نتیجه می‌شود که موجّه‌ایم که (PROOF(m, #φ را فرمولی بینگاریم که ترجمه‌اش این است که m عددِ گودلِ اثباتی برای φ است، و لذا، مادام که در موردِ اعدادِ‌ طبیعیِ استاندارد صحبت می‌کنیم،‌ فرضِ موجّهی است اینکه G را به این ترجمه کنیم که G اثبات‌ناپذیر استخواهیم دید که قید‌هایی که بر آنها تأکید می‌کنیم مهم‌اند.


ج. استطراداًاگر T سازگار نباشد در موردِ صدقِ-G-در-N چه می‌توانیم گفت؟ جوابِ این سؤالْ چندان آسان نیست. (جواب:G در N کاذب خواهد بود.) نکته این است که اگر T ناسازگار باشد آنگاه رابطه‌ی (T ⊢ G ↔ -Pr(#به هیچ کاری نمی‌آید، چرا که اگرچه T معادل‌بودنِ G و (Pr(#G- را اثبات می‌کند، معادلِ بودنِ هر دو چیزِ دیگری را (از جمله معادل‌بودنِ G و (Pr(#رااثبات می‌کنددر این حالت اگرچه هم‌چنان می‌دانیم که در N بالاخره جمله‌ی G یا صادق است یا کاذب، رابطه‌ای که G را به‌کمک‌اش معرفی کردیم برای تعیینِ صدق یا کذبِ G کمکی نمی‌کند—باید واردِ برهانِ لمِ قطری‌سازی شد و دید که G چطور ساخته می‌شودو ترجمه‌ی G به "من اثبات‌پذیر نیستماز اعتبار می‌افتد.


چ. برگردیم به قضیه‌ی ناتمامیتِ گودلنشان داده‌ایم که Gترجمه‌اش هرچه که هست— اثبات‌ناپذیر استشنیده‌ایم که گودل نشان داده است که G ابطال‌ناپذیر هم هست، اما شاید همه ندانیم که گودل برای این کار فرضی قوی‌تر از سازگاری را وارد می‌کند، و حتی می‌دانیم که بدونِ‌این فرضِ اضافی نمی‌شود تعیین‌ناپذیریِ جمله‌ی گودل را اثبات کرد. (بدونِ این فرض هم می‌شود نشان داد که جمله‌ی Rای هست که در Tی ما تعیین‌ناپذیر استچنین جمله‌ای را راسر—با لرد راسل اشتباه نشود!—در همان دهه‌ی ۱۹۳۰ ساخته است، و می‌شود تسامحاً این‌طور بیان‌اش کرداگر R را بشود اثبات کرد، آنگاه R- را می‌تواند حتی سریع‌تر اثبات کرد.) بیایید ببینیم که آیا G- را می‌توانیم در T اثبات کنیم یا نهاگر بشود اثبات‌اش کرد، یعنی اینکه این را اثبات می‌کند:

xPROOF(x,#G).

اما دیده‌ایم که T جمله‌ی G را اثبات نمی‌کند؛ پس به ازای هر عددِ طبیعیِ n، نظریه‌ی T این را اثبات می‌کند:

-PROOF(n,#G).

حالا فرضِ اضافیِ گودل این است که نظریه‌‌ی ما ω-سازگار است، یعنی اینکه هیچ فرمولِ (A(xای نیست که

T ⊢ A(0), T ⊢ A(1), T ⊢ A(n), …;
T ⊢ ∃x -A(x).

یعنی نتیجه‌ی بدیهیِ فرضِ گودل این است که چنان اتفاقی نمی‌دهد؛ پس، اگر T خاصیتِ ω-سازگاری را داشته باشد، آنگاه G ابطال‌ناپذیر هم هست.

احتمالاً‌ توجه کرده‌اید که گودل می‌توانست فرض کند که T صحیح است (یعنی N مدل‌اش است)؛ اما حقیقت این است که فرضِ ω-سازگاریِ T از فرضِ صحّتِ T ضعیف‌تر استاما حتی ω-سازگاری هم قوی‌تر از آنی است که نیاز داریمکافی است آنچه در تعریفِ ω-سازگاری هست برای همین یک فرمولِ خاصِ PROOF برقرار باشد، و لذا کافی است که این شرط را بگوییم که برای فرمول‌های تعریف‌کننده‌ی رابطه‌‌های بازگشتی برقرار است، یا، اصطلاحِ کرایزل را اگر به‌کار بگیریم، بگوییم که نظریه‌ی ما 1-سازگار است. (به زبانِ امروزی، تعریفِ کرایزل از فرمول‌های بیان‌کننده‌ی تابع‌های بازگشتیِ اولیه صحبت می‌‌کند؛ وقتی گودل صحبت از "rekursive" می‌کند منظورش—با اصطلاحاتِ امروزی—بازگشتیِ اولیه است.) آیزکسن نشان داده است که حتی این شرط را هم می‌شود ضعیف‌تر کرد و گفت که اگر به نظریه این را اضافه کنیم که نظریه سازگار است، آنگاه نظریه ناسازگار نشود.


ح. بازگشت به این ادعا که G صادق استاستدلالِ‌ مشهوری هست که این‌طور پیش می‌رودG را دیدیم که اثبات‌ناپذیر استاما G دقیقاً دارد همین را می‌گویدپس G صادق استفهو المطلوباین استدلال را—متأسف‌ام که گزارش کنم که—در مقدمه‌ی مقاله‌ی ۱۹۳۱ هم می‌شود دید (گرچه گودل تصریح می‌کند که در مقدمه دغدغه‌ی دقت ندارد). اولاً می‌شود دید که، چنان که پیشتر ادعا کردم، اگر T ناسازگار باشد آنگاه G در مدلِ استانداردْ کاذب استفوراً اضافه کنم که این البته نقدِ نامنصفانه‌ای است چرا که در آن صورت مقدمه‌ی استدلال غلط می‌شود، چرا که G اثبات‌پذیر می‌شودمهم‌ترمی‌دانیم که گودل بعداً فرضِ ω-سازگاری را وارد می‌کند، و با کمی سعه‌ی صدر می‌شود فرض کرد که در اینجا هم آن فرض برقرار است، و این فرضی است که مستلزمِ سازگاری است (اگر T سازگار نباشد آنگاه هر چیزی را اثبات می‌کند، از جمله چیزهایی را که، در تعریفِ ω-سازگاری، قرار است نظریه‌ی ω-سازگار اثبات نکند). در واقع حتی می‌شود دید—و این جوابِ کامل‌تری به یک سؤالِ قبلی‌مان می‌دهد—که G در N صادق است اگر و فقط اگر G در T اثبات‌پذیر نباشد؛ اما نکته این است که این حکمِ اخیر ظاهراً متوقف بر این است که T صحیح باشد، یا دست‌کم برهانی که من برایش می‌شناسم صحیح‌بودنِ T را مفروض می‌گیرداما اگر T صحیح نباشد، نمی‌دانم که چطور می‌شود اثبات کرد که G در N صادق استاین را اگر در کنارِ این بگذاریم که ω-سازگاری نتیجه نمی‌دهد که T صحیح است (و این را کرایزل در دهه‌ی ۱۹۵۰ اثبات کرده است)، در این صورت احتمالاً موجّه خواهیم بود بگوییم که روشن نیست که استدلالِ گودل معتبر باشد.


خ. بالاخرهویتگنشتاینویتگنشتاین استدلالی برای صادق‌بودنِ G را نقد می‌کنداین استدلال را که "فرض کنید G کاذب باشد؛ در این صورت این حرف صادق است که G اثبات‌پذیر استو مسلّماً نمی‌شود که این‌طور باشد!" نقدِ ویتگنشتاین:

همان‌طور که می‌پرسیم: " 'اثبات‌پذیردر کدام نظام؟"، به همان صورت باید این را هم بپرسیم: " 'صادقدر کدام نظام؟" 'صادق در نظامِ راسل'، چنان که گفته‌ شد، یعنیاثبات‌شده در نظامِ راسل؛ و 'کاذب در نظامِ راسلیعنیمخالف‌اش در نظامِ راسل اثبات شده است.—حالا "فرض کنید کاذب باشد"تان چه معنایی می‌دهد؟ به مفهومِ راسل این یعنی 'فرض کنید مخالف‌اش در نظامِ راسل اثبات شود'؛ اگر فرضِ شما این باشد، احتمالاً حالا این تعبیر را کنار می‌گذارید که گزاره اثبات‌ناپذیر استو منظورم از 'این تعبیرترجمه‌اش به این جمله‌ی زبانِ طبیعی است.

ویتگنشتاین این ایده‌ی بجا را مطرح می‌کند که "صادقبه‌تنهایی معنا نداردالبته به‌نظر می‌رسد که فوراً به این دام می‌افتد که صدق را یکی بگیرد با اثبات‌پذیری در یک نظریه، و این می‌دانیم که توجیهی ندارد و بلکه غلط است؛ اما بیایید ادامه دهیمدر واقع، پاتنم و فلوید نقد را، با گذشتن از ایده‌ی صدق، این‌طور مطرح می‌کنند که بیایید لحظه‌ای فرض کنیم که G- اثبات‌پذیر باشدتوجه می‌کنیم که از این فرض برنمی‌آید که T ناسازگار است، بلکه این حکمِ ضعیف‌تر نتیجه می‌شود که نظریه‌مان ω-ناسازگار استنتیجه‌ی ω-ناسازگاری این است که N مدلِ T نیست، و بیشتراینکه هر محمولی که T اثبات کند که مجموعه‌ی مصادیق‌اش نامتناهی است مجموعه‌ی مصادیق‌اش حاویِ عددهای غیراستاندارد استاما از اول چرا فکر کرده بودیم که G را می‌توان به این صورت فهمید که دارد می‌گوید که G اثبات‌ناپذیر است؟ دلیل‌مان این بود که محمولِ PROOF وقتی در N تعبیر می‌شد خاصیتِ اثبات‌پذیری را به‌خوبی منعکس می‌کرداما حالا در مجموعه‌ی مصادیقِ این محمول حتماً اعدادِ غیراستانداردی هست، و در هیچ مدلِ Mای با mای غیراستاندارد معلوم نیست که چرا باید [PROOF[m,#G را این‌طور فهمید که دارد چیزی در موردِ اثباتی برای G می‌گویدپس دلیلی نداریم که معتقد باشیم که G اصلاً دارد چیزی در موردِ اثبات‌پذیری می‌گویدپس، اگرچه می‌پذیریم که G تعیین‌ناپذیر است، این را نمی‌پذیریم که G صادق و اثبات‌ناپذیر است. پاراگرافِ بدنامِ ویتگنشتاین را مرور کنیماستدلالی که ویتگنشتاین دارد نقدش می‌کند این است که اگرG کاذب باشد آنگاه اشکالی پیش می‌آید که عبارت باشد از اینکه G، به واسطه‌ی آنچه دارد می‌گوید، باید کاذب و اثبات‌پذیر باشد، که این نشدنی است؛ در خوانشِ پاتنم و فلوید، ویتگنشتاین جواب می‌دهد که این استدلال جلو نمی‌رود چرا که اگر فرض کرده باشید که G کاذب است (و این در نزدِ ویتگنشتاین یعنی اینکه فرض کرده باشید که G- در T اثبات‌پذیر است)، آنگاه، به سببِ ω-ناسازگاری، G را دیگر نمی‌توانید به "G اثبات‌ناپذیر استتعبیر کنید، و نمی‌توانید بگویید که اشکالی هستبه نظرِ ویتگنشتاینِ پاتنم و فلوید، خودِ فرضِ خلفْ معنای G را عوض می‌کند و راهِ استدلالِ برهانِ خلف را می‌بندد.


داینکه ویتگنشتاین دارد صدق را به معنای اثبات‌پذیری در نظریه‌ی خاصی می‌گیرد چیزی نیست که از دیدِ همه مخفی مانده باشدپاتنم و فلوید استدلال می‌کنند که هدفِ حمله‌ی ویتگنشتاین در ملاحظات‌اش فرگه و راسل‌اند (در مقامِ فیلسوفانِ ریاضیات، نه در مقامِ منطق‌دان)، و فرگه و راسل خود را در کارِ فراهم‌کردنِ یک زبانِ ایده‌آل یا یک مفهوم‌نگاشتِ می‌دیده‌اند که بر پای خود بایستد، نه (صرفاًدستگاهِ نمادینی برای ترجمه‌ی جمله‌های زبان‌های طبیعیدر انجامِ این کار، آنان خود را در کارِ فراهم‌کردنِ مبنایی برای ریاضیات هم می‌دیدندزبانِ طبیعی شاید جاهایی سرنخ‌هایی به ما بدهد، اما مثلاً فرگه معتقد بوده است که زبانِ طبیعی‌ای که برای توصیفِ نمادگذاریِ ایده‌آل به‌کار می‌بریم نمی‌تواند محتوای دقیقِ آن را فراچنگ آورَدبا چنین پیش‌زمینه‌ای، راسل و فرگه نمی‌توانستند قبول کنند که صدقِ جمله‌ای از پرینکیپیا صرفاً این‌طور تعیین شود که جمله‌ای به زبانِ طبیعی بنویسیم و بگوییم که جمله‌ی PM معنای صادق‌بودنِ جمله را به‌دست می‌دهد (قساستدلالِ گودل در مقدمه). این‌طور صحبت‌کردن—یعنی به‌دست‌دادنِ معنای جمله‌ی در زبانِ PM با نگاه به آنچه جمله‌ای در زبانِ طبیعی می‌گوید—یعنی کنارگذاشتنِ پروژه‌ی بزرگِ‌ منطق‌گراییِ فرگه و راسل. پاتنم و فلوید استدلال می‌کنند که برای ویتگنشتاین راهی نیست جز آنکه برای صدق و معنا متوسل شود به اثبات‌پذیری در نظامی صوری (و البته نمی‌توانم بفهمم که چرا چنین نظری قائل‌اش را به تحقیق‌گرایی ملتزم نمی‌کند.)

حالا من به‌جای پرداختن به این توضیحاتِ فلوید و پاتنم و نقدشان، می‌پردازم به انتقادِ تیموتی بِیز بر خوانشِ پاتنم و فلویدبِیز، آنچنان که شایسته‌ی فیلسوفی مسأله‌محور است، سؤالِ اصلی‌اش این نیست که خوانشِ پاتنم و فلوید تا چه حد با متنِ ویتگنشتاین سازگار است؛ مسأله‌اش این است که از این ایده‌‌ای که این خوانش مطرح می‌کند می‌شود دفاع کرد یا نهمسأله‌ی صدق را کنار بگذاریم؛ ایده‌ایی که می‌خواهیم بررسی کنیم این استاگر معلوم شود که G ابطال‌پذیر است (یعنی نقیضِ G در T اثبات‌پذیر است)، آنگاه باید ترجمه‌ی G به صورتِ "G اثبات ناپذیر استرا کنار بگذاریممی‌دانیم که اگر G ابطال‌پذیر باشد آنگاه نظریه‌مان ω-ناسازگار است و لذا N مدلِ T نیستحالا می‌شود یکی از این دو کار را کردتعبیرِ پیش‌گفته‌ی G را کنار بگذاریم، و این از جمله مستلزمِ این است که N را دیگر مدلِ استانداردِ نظریه‌ی موردِ بررسی‌مان نینگاریم؛ یا می‌توانیم تعبیرِ اثبات‌پذیری برای یکی از مفرداتِ G را نگه داریم، و این فرض را کنار بگذاریم که T (مشخص‌تر: PA) اصل‌موضوعی‌سازیِ خوبی برای حساب استایده (ای که پاتنم و فلوید به ویتگنشتاین نسبت می‌دهنداین است که راهِ اول را باید رفت؛ اما ظاهراً دلیلی به‌دست نمی‌دهند که چرا نمی‌شود N را نگه داشت و را رها کرد. (این نتیجه وقتی حاصل می‌شد که ترجمه‌ی ما از G لازم بود مقیّد شود با رده‌ی مدل‌های T.اما بیز بر آن است که، در صورتِ پیداشدنِ ω-ناسازگاری‌ای در PA، کاری که ریاضی‌دانان خواهند کرد این است که N را نگه دارند و به دنبالِ اصولی از PA بگردند که باعثِ ω-ناسازگاری شده استبیز معتقد است—و به نظرِ من به‌درستی—که موضوعِ اصلیِ مطالعه در حسابْ خودِ ساختارِ N است، و شدیداً نامحتمل است که ریاضی‌دانان کنارش بگذارند و مدلی غیراستاندارد را برای مطالعه برگزینندالبته همین الآن هم مدل‌های غیراستاندارد را مطالعه می‌کنند (مثلاً برای اینکه ببینند گروه‌های خودریختی‌شان چگونه است، یا اثبات کنند که جمع یا ضرب‌شان غیربازگشتی است)، اما موضوعِ اصلیِ مطالعه این نیست؛ به نظر می‌رسد که موضوعِ مطالعه اولاً باشد و تلاش‌ها برای اصل‌موضوعی‌سازیِ حسابِ حقیقی باشدالبته بیز حالتی عجیب را هم تصویر می‌‌کنداینکه معلوم شود که اصلی از PA که مسببِ ω-ناسازگاری است چنان باشد که برداشتن‌اش قضایای مربوط به نمایش‌پذیری را هم سدّ کند.

تصورِ وضعیتِ اخیر بسیار دشوار است، زیرا برای نمایش‌پذیری همه‌ی کار را Qی رابینسن انجام می‌دهد، که بخشِ کوچکِ بی‌استقرائی از حساب است، و خیلی عجیب است که N مدل‌اش نباشدو کشفِ مشکلاتی در Qی معصوم آنچنان عواقبِ گسترده‌ای دارد که معلوم نیست چه می‌کنیم اگر واقعاً پیش بیایددر هر صورت، علی‌رغمِ زیبایی‌های PA، به نظر می‌آید که بعید است که Tی ω-ناسازگاری را نگه داریم و N را کنار بگذاریم—همان‌طور که اگر نظریه‌ی فیزیکی‌ای که برای توصیفِ پدیده‌ای واقعی وضع شده چیزی را پیش‌بینی کند که آشکارا با پدیده در تعارض است، در آن صورت نظریه را کنار می‌گذاریم و به دنبالِ اصولِ دیگری برای توصیفِ پدیده می‌گردیم، نه اینکه نظریه را نگه داریم و مدل‌های دلخواه (و "غیراستاندارد")اش را مطالعه کنیم.


ذ. پاتنم و فلوید به بیز جوابی داده‌اند، و جوابی از بیز هم در راه استطرفین همدیگر را به بدفهمی متهم می‌کنند، اما من مجموعاً به بیز نزدیک‌ترمدر ادامه سعی می‌کنم نقصی را مطرح کنم که به نظرم در موضعِ ویتگنشتاین/پاتنم-فلوید هست و ندیده‌ام که به آن توجه کرده باشندمن می‌پذیرم که بصیرتی در این هست که ω-ناسازگاریْ ترجمه را متلاشی می‌کند؛ اما به نظرم می‌رسد که خوانشی هم‌دلانه با گودل راه را بر انتقادِ ویتگنشتاین می‌بنددحقیقت این است که، چنان‌که ستاینر هم اشاره کرده است (272)، گودل در مقدمه‌اش قضیه‌اش را (که در مقاله برایش برهان می‌آورَدمفروض می‌گیرد، و بعد پیش می‌رود و استدلال می‌کند که G در N صادق استاگر گودل دارد قضیه‌اش را مفروض می‌گیرد، در این صورت معقول است که فرض کنیم که گودل دارد ω-سازگاری را مفروض می‌گیردبا مفروض‌گرفتنِ ω-سازگاری، دیگر استدلالی که پاتنم و فلوید به ویتگنشتاین نسبت می‌دهند پیش نمی‌روددیگر نمی‌توان دغدغه‌ی این را داشت که اگر G- اثبات‌پذیر باشد چه می‌شود، چون می‌دانیم که Gاثبات‌پذیر نیستبنابراین، در جوابِ ویتگنشتاینِ پاتنم و فلوید می‌شود این‌طور گفتمفروضاتِ گودل دارد دو کار انجام می‌دهدهم نشان می‌دهد که Gاثبات‌پذیر نیست، و هم نشان می‌دهد که ترجمه‌ی G به "من اثبات‌پذیر نیستمترجمه‌ی موجّهی است. (گودل پیش‌تر می‌رود و می‌گوید که، بنابراین، G صادق هم هست، و من نگرانی‌ام در این مورد را بیان کرده‌ام؛ اما این بحثِ دیگری است.)


ر. نهایتاً، به نظرم می‌شود بصیرتِ منسوب به ویتگنشتاین را در موردِ قضیه‌ی دومِ ناتمامیت هم به‌کار برد، و این بار به نحوی که بدیهی نباشد که جوابِ گودل چه خواهد بودمطابقِ قضیه‌ی دومِ ناتمامیت، T نمی‌تواند جمله‌ی (Pr(#0 = 1را اثبات کند—یعنی نمی‌تواند جمله‌ای را اثبات کند که سنّتاً آن را (Con(T می‌نامنداگر T بتواند "1 = 0" را اثبات کند، آنگاه T ناسازگار است، و اگر T ناسازگار باشد، آنگاه می‌تواند هر چیزی را، و از جمله جمله‌‌ی "1 = 0" را، اثبات کند؛ پس عجیب نیست که مرسوم است که (Con(T را به سازگاربودنِ T تعبیر می‌کننداما توجه می‌کنیم که برای اثباتِ قضیه‌ی دوم، گودل فرض نمی‌کند که T نظریه‌ای ω-سازگار استهمان فرضِ سازگاریِ ساده کافی است. (در واقع، سخت نیست دیدنِ اینکه (Con(معادل است با همان Gی خودمان، که برای اثبات‌ناپذیری‌اش سازگاریِ صرف کافی است.) پس، تا جایی که به قضیه‌ی دومِ ناتمامیت مربوط می‌شود، می‌شود که نظریه ω-ناسازگار باشداما در این صورت، دقیقاً همان ملاحظاتی که پاتنم و فلوید به ویتگنشتاین نسبت می‌دهند شکّ معقولی ایجاد می‌کند که (Con(T را نشود به سازگاریِ T تعبیر کرد.



II. بخشِ غیرریاضی.

در یک مقاله‌‌ی سالِ ۲۰۰۱اش، مارک ستاینر می‌گوید که پاراگراف‌های بدنامِ ویتگنشتاین شبیه‌اند به تلاشی دن‌کیشوت‌وار و مسبوق به اطلاعاتِ ناقص برای ردّ قضیه‌ی ناتمامیتشواهدی هم ذکر می‌کند، از جمله اینکه—به نقل از کرایزل در یک مقاله‌ی اواخرِ قرن—که ویتگنشتاین از مقدمه‌ی مقاله‌ی ۱۹۳۱ فراتر نرفته بوده استاینکه فراتر رفته بوده است یا نرفته بوده است چیزی است که به آن علاقه‌ای ندارم (یا بهتر بگویمشاید در خلوتِ خودم زندگی‌نامه‌ی ویتگنشتاین را بخوانم و برایم جالب باشد ببینم که آیا واقعاً مقاله‌ی گودل را خوانده است یا نه؛ اما در مقامِ تأملی فلسفی و برای صحبت در جمعی جدی، اینکه قضیه و برهان‌اش را فهمیده یا نفهمیده برای من همان‌قدر مهم است که بدانم هلو بیشتر دوست داشته است یا خیار). شواهدِ متنی‌ای به ما می‌گوید که آنچه در ملاحظات به دنبال‌اش است نه ردّ قضیه، بلکه ردّ این بیانِ متداول/عامیانه بوده است که گودل اثبات کرده است که به ازای هر نظامِ صوریِ سازگاری که اصل‌موضوع‌پذیر باشد و حساب را هم بشود در آن تعبیر کرد، گزاره‌هایی هستند که صادق‌اند و در آن نظامْ تعیین‌ناپذیرندبا این حال، من ویتگنشتاین‌شناس نیستم، و مضحک است که با آلمانی‌بلد‌نبودن و خواندنِ دو کتاب و پنج مقاله بیایم نظریه‌پردازی کنم که واقعاً منظورِ ویتگنشتاین چه بوده استکاری که می‌خواهم انجام بدهم این است که گزارشی به‌دست بدهم از مقاله‌ی ستاینرفرضِ او—که برایش خیلی هم استدلال نمی‌کند—این است که ویتگنشتاین واقعاً در کارِ ردّ قضیه بوده است، و معتقد است که از این کارِ او نمی‌شود دفاع کرد؛ کاری که ستاینر انجام می‌دهد به‌دست‌دادنِ شرحی است (خواندنیاز اینکه ویتگنشتاین چرا خواسته است چنین کندگزارشِ من مختصر خواهد بود.

اگر کسی که می‌خواهد قضیه‌ی گودل را ردّ کند فیلسوفی بود که در ریاضیاتْ تجدیدنظرطلب ("ریویزیونیست"!) است، در این صورت خیلی جای شگفتی نبود—فیلسوفانِ شهودگرای ریاضیات این را می‌گویند که فلان رده از اثبات‌های متعارفِ ریاضی را باید کنار گذاشتاما ویتگنشتاین کسی است که معتقد است کارِ فلسفه توصیف است و "همه چیز را همان‌طور که هست باقی می‌گذارد. / ریاضیات را هم همان‌طور که هست باقی می‌گذارد، و هیچ کشفِ ریاضی نمی‌تواند به پیش ببرَدشبرای ما یک 'مسأله‌ی مهمِ منطقِ ریاضیمسأله‌ای است در ریاضیات مثلِ هر مسأله‌ی دیگری." غیر از این، حتی اگر شهودگرای تحقیق‌گرای تجدیدنظرطلبی هم بود، باز موردی برای ردّکردن نمی‌بود، چرا که برهانِ گودل هم ساختنی است و هم متناهیک! [اینکه کارِ گودل ساختنی است هم به این سبب است که نظری داشته به برنامه‌ی هیلبرت و پروژه‌ی مبانیِ ریاضیات، و هم اینکه برای اثباتِ قضیه‌ی دومِ ناتمامیت لازم‌اش داشته.]

مسأله از این هم پیچیده‌تر می‌شود اگر توجه کنیم که اصلاً ویتگنشتاین می‌توانسته از قضیه‌ی ناتمامیتِ گودل به نفعِ مواضعِ خودش استفاده کندستاینر به ما می‌گوید که ویتگنشتاین نوعی از فلسفه را سخت ناخوش می‌داشته است که ستاینر آن را "فلسفه‌ی آکادمیکمی‌خوانَدمشخصه‌ی اصلیِ فیلسوفِ آکادمیک این است که شوقِ شدیدی دارد به به‌دست‌دادنِ تبیین و توضیحِ فلسفی برای چیزهایی که، نهایتاً، فقط می‌شود توصیف‌شان کرد—و نمونه‌هایی از این مفاهیمعدد، برهان، صدقفیلسوفِ آکادمیک سعی می‌کند این مفاهیم را با توسل به "شهودِ ریاضیتبیین کند و توضیح دهد، و یک راهبردِ اصلیِ ویتگنشتاین برای استدلال بر ضدِ فیلسوفِ آکادمیک این است که استدلال کند که هیچ کدام از این مفاهیمِ عدد و برهان و صدق هیچ ذاتِ ثابتِ ازلی‌ای ندارد (در موردِ عدد در پژوهش‌های فلسفی 67§ در این مورد استدلال می‌‌کند). ستاینر استدلال می‌کند که برای این کار قضیه‌ی گودل می‌تواند در خدمتِ ویتگنشتاین باشد، به این صورت که مفهومِ عدد را نمی‌توان با مجموعه‌ای متناهی (یا حتی شمارش‌پذیرِ بازگشتیانهفراچنگ آورْد—یعنی که هیچ روالِ صوری‌ای نمی‌تواند همه‌ی آنچه از "عددمراد می‌کنیم را فراچنگ آورَد. [البته این شاید هنوز واقع‌گرای سرسختِ افراطی را راضی نکند؛ اما به هر حال به نظر می‌رسد که شاهدی باشد بر درستیِ نظرِ ویتگنشتاین.] و نهایتاً اینکه قضیه‌ی گودل این را معقول جلوه می‌دهد که تلاش برای صوری‌سازیِ سراسریِ ریاضیات نافرجام است، و این به‌نظر می‌رسد که تأییدی باشد بر این نظرِ ویتگنشتاین که ریاضیات مجموعه‌ای است چهل‌تکه و رنگارنگ [motley] از روش‌های مختلف برای اثباتستاینر یادش نرفته که به ما گفته است که، در نظرِ ویتگنشتاین، قضایای ریاضی (و منطقیاثری بر فلسفه ندارند؛ حرفِ ستاینر این است که ویتگنشتاین می‌توانست استدلال کند که، با این فرض (غلطکه قضیه‌ی گودل به فلسفه ربطی دارد، نتایجِ این قضیه حامیِ آراءِ فلسفیِ او است. (ستاینر این را هم برایمان توضیح می‌دهد که در مواضعی، کاری که ویتگنشتاین می‌کند برهانِ خلفِ معمول نیستویتگنشتاین نظرِ مخالف‌اش را فرض نمی‌کند، چرا که، در مواضعی، فرضِ مخالف به نظرش آن‌قدر نامعقول است که نمی‌تواند فرض‌اش کند؛ بلکه وانمود می‌کند که آن را فرض می‌کند.)

خب، حالا چرا، با همه‌ی اینها، ویتگنشتاین بر ضدِ قضیه‌ی گودل استدلال می‌‌کند (اگر که می‌کند)؟

اولاً (یامقدمتاًتوجه کنیم که آنچه ویتگنشتاین بر ضدش استدلال می‌کند—یعنی اینکه گزاره‌ای هست که اثبات‌ناپذیر و صادق است—چیزی نیست که در خودِ قضیه‌ی گودل باشدقضیه‌ی گودل صرفاً می‌گوید که حکمی هست که اثبات‌ناپذیر است و (با فرضِ اضافه‌ی ω-سازگارینقیض‌اش هم اثبات‌ناپذیر استصحبتی از صدق نیستاما خودِ گودل در رواج‌دادنِ این تعبیرِ صادق و اثبات‌ناپذیر کمتر از هیچ کس مقصر نبوده استنه فقط در مقدمه‌ی مقاله‌اش (که البته می‌گوید که در آن دغدغه‌ی دقت نداردصحبت از صدقِ جمله‌ی گودل می‌‌کند، در مقدمه می‌گوید که استدلالْ یادآورِ پارادکسِ دروغگو استویتگنشتاین بر ضدِ این استدلال است که دلیل می‌آورَدستاینر سعی می‌کند همین استدلالِ معناشناختی را تدقیق کند، به این صورت که صحبت کند از صدقِ جمله (به روشِ تارسکیدر همه‌ی دنباله‌های اعدادِ طبیعی، و این را هم بررسی می‌کند که شاید ویتگنشتاین جواب دهد که صدقِ تارسکی صدق نیست؛ من در این گزارش به این بحث نخواهم پرداخت.

حمله‌ی ویتگنشتاین را می‌شود مقایسه کرد با خوش‌نداشتن‌اش قضیه‌ی کانتور و روشِ قطریِ کانتور را، که در ملاحظات به آن می‌پردازدویتگنشتاین تجدیدنظرطلب نیست، و می‌شود این‌طور فکر کرد که ، در نظرِ او، نظریه‌ی کانتوریِ مجموعه‌ها ریاضیات نیست بلکه مابعدالطبیعه است و لذا استدلال بر ضدش بلااشکال استاما ستاینر می‌گوید که دلیلِ بدآیندِ ویتگنشتاین از نظریه‌ی مجموعه‌ها این است که، به نظرِ ویتگنشتاین، نظریه‌ی مجموعه‌ها نه فقط هیچ کاربردی در بیرون از ریاضیات ندارد، بلکه در خودِ ریاضیات هم کاربردی نداردنهایتاً، در خوانشِ ستاینر، ویتگنشتاین نمی‌گوید که نظریه‌ی مجموعه‌‌ها غلط است یا اینکه ریاضی‌دانان حق ندارند به آن بپردازند، بلکه دارد می‌گوید که نظرش این است که نظریه‌ی مجموعه‌ها فرقِ فارقی دارد با بقیه‌ی شاخه‌های ریاضیات.

در موردِ قضیه‌ی ناتمامیت، می‌شود این‌طور حدس زد که مقدمه‌ی گودل باعث شده ویتگنشتاین گمان کند با پارادکسی مواجه است، نه با اثباتی محکمدیگر اینکه شاید این برایش مهم بوده که جمله‌ی گودل (یعنی Gهیچ جذابیتِ ریاضی‌ای ندارد—جمله را وقتی در مقامِ حکمی در نظریه‌ی اعداد بررسی کنیم، آن‌قدر طولانی است که نمی‌شود یک‌جا فهمیدشاما، اگر این حدس‌ها درست باشد، ویتگنشتاین شدیداً بر خطا بوده استبرنامه‌ای که با کارِ گودل شروع شد به‌سرعت منجر شد به جواب‌دادن به بعضی سؤال‌ها که از پیش مطرح بودمثلاً (و ستاینر این مثال را ذکر نمی‌کندمسأله‌ی تعیینِ هیلبرت (پیداکردنِ الگوریتمی برای تعیینِ اعتبارِ منطقیِ فرمول‌های مرتبه‌ی اولرا فهمیدیم که جواب نداردویتگنشتاینِ جوان جدولِ صدق را مطرح کرد؛ حالا اگر کسی به دنبالِ این بود که الگوریتمِ مشابهی برای فرمول‌های مرتبه‌ی اول پیدا کند، قضیه‌ی چرچ به او می‌گوید که سعی‌اش عبث خواهد بود. (امروزه، نامعمول نیست که در یک جلسه—در اواخرِ اولین درسِ منطقِ بعد از دوره‌ی کارشناسی—هم قضیه‌ی ناتمامیت را اثبات کنند و هم قضیه‌ی چرچ را.)

اما اینها همه پیش‌زمینه‌ی موضوع را نشان می‌دادحرفِ اصلیِ ستاینر این است که ویتگنشتاین قربانیِ گودل‌هراسی شده بودظاهراً امرِ واقع این است که قضیه‌ی گودل به‌سرعت تبدیل شده بود به نماد و پشتیبانی مهم برای واقع‌گرایی در ریاضیات—مشخصاًتبدیل شده بود به دلیلی مهم و بلکه دلیلِ اصلی برای این ادعا که صدقِ ریاضی چیزی است فراتر از آنچه اثباتِ قضایای ریاضی به ما می‌دهدبه روایتِ ستاینر، ویتگنشتاین این نتیجه‌گیریِ عامیانه/محبوب از قضیه‌ی گودل را مفروض گرفته بود، و راهی نداشت جز حمله به خودِ قضیه‌ی گودلکاری که ویتگنشتاین می‌بایست کرد این بود که بگوید که واکنشِ جهانِ آکادمیک به قضیه‌ی ناتمامیت حساب‌شده نبوده و سخت منفعلانه بوده استقضیه به ما می‌گوید که صدق را با اثبات‌پذیری در هیچ تک‌نظامی نمی‌شود یکی گرفت؛ اما نتیجه‌ای که شاید می‌شد گرفت این بوده است که صدقِ ریاضیْ چهل‌تکه استفیلسوفِ آکادمیک نتیجه گرفته است که صدقِ ریاضی اصلاً در هیچ نظامی با اثبات‌پذیری فراچنگ نمی‌آید—و افلاطون‌گرایی نتیجه‌ی ناگزیرِ این است.


۱۰ نظر:

  1. ممنون كه اينجا گذاشته ايدش.
    من تا اواسط قسمت چ را خواندم.

    در اوايل قسمت ب، ظاهرا A اشتباها به جاى فاى نوشته شده.

    decidable به طور گسترده 'تصميم پذير' ترجمه مى شود، كه با توجه به مفهوم به نظرم ترجمه ى كاملى است، مگر اينكه ملاحظه ى ديگرى داشته باشيد.

    در اولين جايى كه در قسمت ت فاى نوشته ايد، ظاهرا بايد G نوشته مى بوديد.

    و نگاه ام به عبارتِ 'شمارش پذيرِ بازگشتيانه' افتاد. قاعدتا مراد recursively enumerable (در ادبياتِ مربوط، denumerable هم بسيار رايج است، حتى رايج تر) است. در اين صورت، باز ترجمه ى رايج و به نظرم درست اين است: 'به طورِ بازگشتى شمارش پذير'. درست است كه ترجمه ى شما موجز است، ولى به گوش من بدآهنگ و ثقيل مى آيد. ضمن آن كه، به نظرم، تقدمِ مفهومىِ 'شمارش پذير' و تاكيد روى 'به طورِ بازگشتى' را مى پوشاند، يا دست كم در مواجهه ى اول مى پوشاند؛ حال آنكه recursively enumerable اساسا قرار است مقابلِ enumerable حائز اهميت شود.

    پاسخحذف
    پاسخ‌ها
    1. ممنون بابتِ توجه و تذکر. موردهای φ و A را اصلاح کردم.

      با رواجِ اصطلاحِ "تصمیم‌پذیر" آشنا هستم (برای همین هم اصل را به‌دست داده‌ام). به نظرم در این مسأله ما در موردِ چیزی *تصمیم* نمی‌گیریم، و حدس می‌زنم که مترجمانِ اولیه با همه‌ی معانیِ decide آشنا نبوده‌اند--چیزی شبیه به موردِ satisfy که گاهی در متونِ منطقی به "ارضاء" ترجمه‌اش می‌کنند. در موردِ اصطلاحِ دیگر سلیقه‌مان یا تربیتِ گوش‌هایمان متفاوت است.

      حذف
    2. ممنون.
      ولی آن‌وقت تفاوتِ بینِ determine و decide چه می‌شود؟ من احساسم این است--کمی هم گوگل کردم البته--که در determination دست‌ بازتر است برای انتخاب و گاهی اصلا گزینه‌ها از‌پیش‌مشخص نیستند، ولی در decision معمولا گزینه‌های مشخصی وجود دارد که باید بینِ آن‌ها انتخابی کرد. مثلا در مساله‌ی decidability گزینه‌ها این‌ها هستند: yes یا no; عضو‌بودن یا عضو‌نبودن؛ فای یا نقیضِ‌فای…
      از طرفی، مثلا می‌گوییم "use determines meaning" یا
      "meaning determines correct application" یا مثلا مشاهدات نظریه‌ها را determine می‌کنند…
      البته حق با شماست که این‌جا "تصمیم" نمی‌گیریم، به این معنا که مثلا "عزم و اراده" کنیم به انجام کاری. ولی فکر می‌کنم ترجمه‌ی مطلوب باید یک احساسی از انتخاب کردن بین چند گزینه را به‌دست دهد. "تعیین کردن" این احساس را به من نمی‌دهد.
      اینجا
      http://dictionary.cambridge.org/dictionary/english-arabic/decision
      معادلِ عربیِ "decision" را "قَرار" نوشته. "المعانی" هم یکی از معادل‌های عربیِ "تصمیم" در فارسی را "قرار" و دیگری را "اختیار" نوشته. گرچه، به‌وضوح، یکی از معانی‌اش هم "عزم" است. و "تصمیم‌گیری" را هم، از جمله، "اتخاذ القرار" معنی کرده.
      http://www.almaany.com/fa/dict/fa-ar/تصميم/

      حذف
  2. ممنون از مطلب خوبتان.
    در خط اول از پاراگراف یکی مونده به آخر، به نظر "گودل" به اشتباه "گول" تایپ شده.

    پاسخحذف
  3. عصبانی ام
    خیلی عصبانی ام
    و می دانم کسی برای عصبانیت من تره هم خرد نمی کند
    از دست تو و چند نفر دیگر مانند تو که عرصه را خالی کردند برای جولان دادن یک مشت استادنمای بیسواد و مدعی که از فلسفیدن فقط ژست های نخ نما شده روشنفکری را بلدند...
    آن قدر عصبانی ام که کاری به دلایل رفتن تو و بقیه ندارم گرچه شاید دلایل موجهی باشد...
    اما قبول کن دلیل تو یکی موجه نبود...
    می دانم این کامنت من هیچ ربطی به مطلب فلسفی تو ندارد. اما همین پست تو بود که دوباره داغ دلم را برایم تازه کرد...
    گرچه می دانم کسی برای داغ دل من هم تره خرد نمی کند...
    خیلی عصبانی ام

    پاسخحذف
  4. با سلام و سپاس
    در بخش اول (ت) چطور از "پس،‌ طبقِ (*) به ازای هر عددِ طبیعیِ n، جمله‌ی (PROOF(n,#G در N کاذب است" به "پس G در N کاذب است" رسیده اید؟ آیا کاذب بودن وجود پروف به ما کاذب بودن G را می دهد؟

    پاسخحذف
    پاسخ‌ها
    1. سلام.
      بنا به نحوه‌ی ساختِ جمله‌‌ی G، این قضیه‌ای است از T که G معادل است با نقیضِ پی‌آرِ عددِ گودلِ G. فرض کرده‌‌ایم که N مدلِ T است؛ پس این حکم در N صادق است که: G اگر و فقط اگر xای باشد که PROOF بینِ x و عددِ گودلِ G برقرار باشد. عالَمِ سخنِ N متشکل است از عددهای طبیعی، که، طبقِ (*)، هیچ‌کدام‌شان با عددِ گودلِ G چنین رابطه‌ای ندارند. پس G در N کاذب است.

      حذف
  5. Nitpicking

    1. Your sentences are hard to read. You don't follow the rule of going from old information to new and mix it with literature. Not sure if this is intentional but it does make it harder to understand your points.

    2.It is kind of out of date to equate computable and recursive functions. See this article:
    http://projecteuclid.org/euclid.bsl/1182353451

    3. If Q is inconsistent then we have way more serious problems than those you mention. The whole point of using Q is that there is no doubt among people who believe in N that Q is consistent as it has a model.

    4. Wittgenstein's notion of mathematical truth is rather different from the generally accepted one where truth is absolute. Wittgenstein is using the words in a different way than the way Godel and other use it. One place that his idea is further developed is in the works of Edward Nelson. But Nelson argues that the problem is with the completeness theorem not the incompleteness theorem.

    5. There are alternatives to understanding Wittgenstein's views as positivism. The issue is similar to those faced by Kreisel in his attempts to formalize intuitionistic truth in the BHK sense.

    6. Understanding G as "I am not provable in T" goes deeper and can be understood in much weaker theories (in place of going up to N and TA, the True Arithmetic). The notion of provability in a theory, specially when the theory is finitely axiomatizable, can be understood in much weaker theories. There is no dependence on the consistency of T itself.

    پاسخحذف
  6. سلام.

    ممنون که نظرهایتان را در موردِ این یادداشت‌ها نوشته‌اید. در موردِ قسمتِ 3ی نوشته‌تان، البته که کشفِ ناسازگاریِ Q نتایجِ حادّی خواهد داشت، و من هم--حتی در این نوشته که "برای خودم نوشتم تا ذهن‌ام را مرتب کنم"، گفته‌ام که "آنچنان عواقبِ گسترده‌ای دارد که معلوم نیست چه می‌کنیم اگر واقعاً پیش بیاید". سادگیِ Q البته مشهور است، اما اینکه ریاضی‌دانان و دیگران به چه چیزهایی *باور* یا *اطمینان* دارند خیلی به بحثِ فنّیِ منطقی-فلسفی مربوط نمی‌شود. قضیه‌ی دومِ ناتمامیت نتیجه می‌دهد که Q، اگر که سازگار باشد، نمی‌تواند سازگاری‌اش را اثبات کند؛ حالا اینکه باور داشته باشیم که Q فی‌الواقع سازگار است امری نیست که زیاد بشود در موردش بحث کرد. یا من این‌طور فکر می‌کنم.

    در موردِ بندِ 2ی نوشته‌تان هم کاش بیشتر توضیح می‌دادید. تصادفاً مقاله‌ی Soare 1996 را خوانده‌ام، و به خاطر ندارم سوآر استدلال کرده باشد که یکی‌گرفتنِ محاسبه‌پذیری با بازگشتی‌بودن از مُد افتاده است. و البته غیر از بحثِ تاریخی و تحلیلیِ درخشان‌اش، یکی از نکته‌های این مقاله پیشنهادِ همین است که به‌جای اصطلاحِ قدیمی و هنوز-رایجِ Recursion Theory، بحث را Computability Theort بخوانیم. ممنون می‌شوم با شماره‌ی صفحه ارجاع بدهید.

    پاسخحذف