[این متن را دو-سه روز پیش از سومین همایش سالانه‌ی انجمن منطق برای خودم نوشتم تا ذهن‌ام را مرتب کنم. حدودِ هشتاد درصد از بخشِ I و حدودِ نیمی از بخشِ II را در جلسه گفتم.]
I. بخشِ ریاضی-منطقی
الف. همه‌جا منظورم از T نظریه‌ای است اصل‌موضوع‌پذیر در زبانِ حساب، و فرض می‌کنم که T توسیعی است از Qی رابینسن (Q مجموعه‌ای است از هفت اصل‌موضوع که بعضی خاصیت‌های جمع و ضرب را بیان میکند—این نظریه حتی از PAی منهای استقراء هم ضعیف‌تر است: مثلاً Q مستلزمِ این نیست که ضربْ جابه‌جایی است). مگر در یک جا که به خلاف‌اش تصریح خواهم کرد، فرض می‌کنم که T سازگار هم هست. گودل و ویتگنشتاین در موردِ نظامِ پرینکیپیا متمتیکا (PM) صحبت می‌کنند، اما تغییرِ نظریهی زمینه به (توسیعی از) Q باعثِ بدفهمیدنِ نظرهایشان نخواهد شد.
منظورم از عددگذاریِ گودلی هر تابعی است که به هر دنباله‌ی متناهی از نمادهای حسابْ عددی طبیعی نسبت دهد با این ویژگی‌ها: یک‌به‌یک است، محاسبه‌پذیر است (به مفهومی شهودی)، و به ازای هر عددِ طبیعی این هم (به همان مفهومِ شهودی) محاسبه‌پذیر است که آیا آن عدد عددِ گودلِ عبارتی هست یا نه، و، اگر هست، آن عبارت چیست. روش‌های مختلفی برای عددگذاریِ گودلی موجود است، و روشی که امروزه متداول‌تر است آنی نیست که گودل در ۱۹۳۱ به‌کار گرفته است (روشِ محبوبِ امروزی اساساْ از کواین است)؛ اما برای مقاصدِ ما مهم نیست که جزئیاتِ کار چیست؛ مهم این است که عددگذاریِ گودلی‌ای هست. این عددگذاری را می‌توان به دنباله‌های متناهی از دنباله‌های متناهیِ زبانِ حساب هم گسترش داد.
با دردست‌داشتنِ یک عددگذاریِ گودلی، می‌شود (به روشی که قضیه‌ی مشهور به لمِ قطری‌سازی فراهم میکند) یک جملهی G ساخت که (T ⊢ G ↔ -Pr(#G. در موردِ Pr به‌زودی توضیح خواهم داد که محمولِ اثبات‌پذیریِ T است؛ G# اسمِ رسمیِ عددِ گودلِ G است، یعنی اگر عددِ گودلِ G مساویِ n باشد، G# عبارتِ n است که متشکل است از نمادِ صفر که به دنبال‌اش nتا نمادِ تالی آمده است. احساسِ ما این است—و بخشی از صحبت‌های من در موردِ موّجه‌بودن یا نبودنِ این احساس است—که G را می‌توان این‌طور تعبیر یا ترجمه کرد: "من اثبات‌پذیر نیستم". این جملهی G جمله‌ای است که گودل در مقالهی بسیار مشهورِ ۱۹۳۱اش می‌سازد و نشان می‌دهد که اثبات‌پذیر نیست و—با فرضی بیش از فرضِ سازگاریِ T—نشان می‌دهد که ابطال‌پذیر هم نیست.
ب. دیدنِ اینکه G اثبات‌پذیر نیست ساده است—یا ساده است اگر که بعضی نتایجِ حسابی‌سازیِ نحو را (که به آنها اشاره‌ای خواهم کرد) بدانیم. یکی از این نتایج این است که به ازای هر جملهی φ از زبانِ حساب، اگر
T ⊢ φ
آنگاه
.(T ⊢ Pr(#φ
خب، حالا اگر فرض کنیم که T جملهی G را اثبات میکند، نتیجه می‌شود که T اولاً جملهی (Pr(#G- را اثبات میکند چرا که، طبقِ نحوه‌ی ساخت، (T ⊢ G ↔ -Pr(#G، و ثانیاً، طبقِ چیزی که در موردِ خاصیتِ محمولِ Pr گفتیم،T جملهی (Pr(#G را اثبات میکند. پس نتیجه می‌شود که T ناسازگار است. پس: T جملهی G را اثبات نمی‌کند. (دیگر تکرار نخواهم کرد که فرض کرده‌ایم که T سازگار است.) به‌زودی خواهیم دید که، با یک فرضِ اضافی، G- هم اثبات‌ناپذیر است—یعنی G در T تعیین‌ناپذیر [undecidable] است.
پ. حسابی‌سازی در پنج دقیقه. رابطه‌ی Proof را در نظر بگیرید که این‌طور تعریف‌اش می‌کنیم: بینِ عددهای طبیعیِ a و b برقرار است اگرر a عددِ گودلِ دنباله‌ای از فرمول‌ها باشد که برهانی است بر پایه‌ی جمله‌های T برای جمله‌ای که عددِ گودل‌اش b است. یعنی اگر مثلاً در Q برهانی بنویسید برای اینکه 12 = 7 + 5 [ملاحظه می‌فرمایید که من با کانت آشنا هستم!]، این برهان دنباله‌ای است متناهی از چند فرمول که آخرین‌شان همین حکم است و هر کدام از بقیه‌ی فرمول‌ها یا اصلی است منطقی یا یکی از اصولِ موضوعِ Q است یا از دو تا از جمله‌های قبلیِ دنباله با اِعمالِ قاعده‌ای منطقی (مثلاً با اِعمالِ وضعِ مقدم) به‌دست آمده است. حالا اگر a را عددِ گودلِ آن برهان (اعنی: عددِ گودلِ آن دنباله) و b را عددِ گودلِ "12 = 7 + 5" بگیریم، بنا بر تعریفْ رابطه‌ی Proof بینِ این دو عدد برقرار است. با مفروض‌بودنِ عددگذاری‌ای گودلی، و با مفروض‌بودنِ اینکه T اصل‌موضوع‌پذیر است (که معنایش این است که مجموعه‌ای از جمله‌ها هست که نتایجِ منطقی‌اش دقیقاً همان نتایجِ منطقیِ T است و بررسیِ عضویت‌داشتن یا نداشتن در آن مجموعه امری است محاسبه‌پذیر)، دست‌کم شهوداً روشن است که اینکه رابطه‌ی Proof بینِ دو عدد برقرار هست یا نه امری است محاسبه‌پذیر.
مدلِ ریاضیِ مفهومِ تابعِ محاسبه‌پذیر چیزی است که به آن می‌گویند تابعِ بازگشتی، و می‌توان به‌راحتی نشان داد که، با مفروضاتِ ما، رابطه‌ی Proof بازگشتی است (یعنی این تابع بازگشتی است: تابعی که به زوجِ مرتبِ a و b عددِ 1 را نسبت می‌دهد اگر این دو عدد با هم رابطه‌ی Proof داشته باشند، و 0 را نسبت می‌دهد اگر نداشته باشند). اما قضیه‌ی شناخته‌شده‌ای در منطق هست با این محتوا که هر توسیعِ Q هر تابعِ بازگشتی را نمایش می‌دهد (به معنایی که در ضمیمه توضیح داده‌ام)، که نتیجه‌اش این است که یک فرمولِ (PROOF(x,y در زبانِ حساب هست که به ازای هر فرمولِ φ از زبانِ حساب،
اگر n عددِ گودلِ اثباتی برای جملهی φ باشد، آنگاه (T ⊢ PROOF(n,#φ؛
اگر n عددِ گودلِ اثباتی برای جملهی φ نباشد، آنگاه (T ⊢ -PROOF(n,#φ.
و نهایتاً اینکه، طبیعتاً، (Pr(y یعنی (xPROOF(x, y∃.
با این فرض که همه‌ی جمله‌های T در N (مدلِ استانداردِ حساب) صادق‌اند، نتیجه می‌شود که به ازای هر جملهی φ و هر عددِ طبیعیِ n،
(*) (N ⊨ PROOF(n,#φ اگر و فقط اگر n عددِ گودلِ اثباتی برای φ باشد.
ت. دیدیم که G در T اثبات‌ناپذیر است. می‌شود پرسید: آیا G صادق است؟ و بیایید صریح‌تر بپرسیم: آیا G در N صادق است؟ خب، ما می‌دانیم که هر عددِ طبیعیِ nای که در نظر بگیریم، این n عددِ گودلِ اثباتی برای G نیست (چون چنین اثباتی وجود ندارد)؛ پس، طبقِ (*) به ازای هر عددِ طبیعیِ n، جملهی (PROOF(n,#G در N کاذب است. پس G در N کاذب است. توجه کنید که این استدلال این را مفروض گرفته است که N مدلی است برای T. و توجه کنید که اگر M مدلی غیراستاندارد برای T باشد، آنگاه روشن نیست که به این روش بشود استدلال کرد که G در M صادق است. (اگر G در چنین Mای صادق باشد، آنگاه mای در عالمِ سخنِ این مدل هست که
M ⊨ PROOF[m,#G],
اما چون این m می‌تواند عددِ استانداردی نباشد، از این موضوع نمی‌شود نتیجه‌ی بدیهی‌ای در موردِ رابطه‌ی اثبات گرفت. وانگهی، می‌دانیم که به هر حال در بعضی مدل‌های T جملهی G کاذب است—وگرنه G قضیه‌ی T می‌بود.)
صدقِ G در N توجیه‌کننده‌ی یک بیانِ مشهورِ قضیه‌ی اولِ ناتمامیت است، که عبارت است از اینکه "جمله‌هایی هستند که صادق‌اند و اثبات‌ناپذیر". چند نکته در موردِ این بیانِ مشهور. اول اینکه روشن نیست که استدلال در موردِ صدقِ جملهی گودل در مدلِ استاندارد را بتوان در حساب صوری کرد—حتی معقول به‌نظر می‌رسد که حدس بزنیم که نمی‌شود صوری‌اش کرد. دوم اینکه اگر هدف‌مان رسیدن به این حکم باشد که جملاتِ صادقِ اثبات‌ناپذیری وجود دارند، در این صورت خیلی مهم نیست که خودِ همین جملهی G صادق باشد: بالاخره، هر جملهی تعیین‌ناپذیری که وجود داشته باشد، نقیض‌اش هم اثبات‌ناپذیر است، و هر جمله‌ای هم در N یا صادق است یا کاذب؛ پس بالاخره جملهی صادقِ اثبات‌ناپذیری وجود دارد. همچنین است برای هر مدلِ دیگری از T. سوم اینکه، بر من معلوم نیست چرا بر دوگانه‌ی صدق/اثبات این‌قدر تأکید می‌شود: می‌شود این را هم گفت که، بنا به قضیه‌ی ناتمامیت، جملاتِ کاذبِ ابطال‌ناپذیری وجود دارند.
ث. اما به هر حال ممکن است به دلیلی به خودِ جملهی G علاقه‌مند باشیم، مثلاً به این دلیل که (با کمی تلاش می‌شود دید که) G معادل است با این حکم که T سازگار است—یعنی این حکم که (Pr(#0 = 1-. در این صورت شاید برایمان مهم باشد که بدانیم که آیا/چرا می‌شود G را این‌طور فهمید که می‌گوید که G (یعنی خودش) اثبات‌پذیر نیست. با این فرض که N مدلی برای T است، نتیجه می‌شود که موجّه‌ایم که (PROOF(m, #φ را فرمولی بینگاریم که ترجمه‌اش این است که m عددِ گودلِ اثباتی برای φ است، و لذا، مادام که در موردِ اعدادِ طبیعیِ استاندارد صحبت می‌کنیم، فرضِ موجّهی است اینکه G را به این ترجمه کنیم که G اثبات‌ناپذیر است. خواهیم دید که قید‌هایی که بر آنها تأکید می‌کنیم مهم‌اند.
ج. استطراداً: اگر T سازگار نباشد در موردِ صدقِ-G-در-N چه می‌توانیم گفت؟ جوابِ این سؤالْ چندان آسان نیست. (جواب:G در N کاذب خواهد بود.) نکته این است که اگر T ناسازگار باشد آنگاه رابطه‌ی (T ⊢ G ↔ -Pr(#G به هیچ کاری نمی‌آید، چرا که اگرچه T معادل‌بودنِ G و (Pr(#G- را اثبات میکند، معادلِ بودنِ هر دو چیزِ دیگری را (از جمله معادل‌بودنِ G و (Pr(#G را) اثبات میکند! در این حالت اگرچه هم‌چنان می‌دانیم که در N بالاخره جملهی G یا صادق است یا کاذب، رابطه‌ای که G را به‌کمک‌اش معرفی کردیم برای تعیینِ صدق یا کذبِ G کمکی نمی‌کند—باید واردِ برهانِ لمِ قطری‌سازی شد و دید که G چطور ساخته می‌شود. و ترجمه‌ی G به "من اثبات‌پذیر نیستم" از اعتبار می‌افتد.
چ. برگردیم به قضیه‌ی ناتمامیتِ گودل. نشان داده‌ایم که G—ترجمه‌اش هرچه که هست— اثبات‌ناپذیر است. شنیده‌ایم که گودل نشان داده است که G ابطال‌ناپذیر هم هست، اما شاید همه ندانیم که گودل برای این کار فرضی قوی‌تر از سازگاری را وارد میکند، و حتی می‌دانیم که بدونِ‌این فرضِ اضافی نمی‌شود تعیین‌ناپذیریِ جملهی گودل را اثبات کرد. (بدونِ این فرض هم می‌شود نشان داد که جملهی Rای هست که در Tی ما تعیین‌ناپذیر است. چنین جمله‌ای را راسر—با لرد راسل اشتباه نشود!—در همان دهه‌ی ۱۹۳۰ ساخته است، و می‌شود تسامحاً این‌طور بیان‌اش کرد: اگر R را بشود اثبات کرد، آنگاه R- را می‌تواند حتی سریع‌تر اثبات کرد.) بیایید ببینیم که آیا G- را می‌توانیم در T اثبات کنیم یا نه. اگر بشود اثبات‌اش کرد، یعنی اینکه T این را اثبات میکند:
∃xPROOF(x,#G).
اما دیده‌ایم که T جملهی G را اثبات نمی‌کند؛ پس به ازای هر عددِ طبیعیِ n، نظریهی T این را اثبات میکند:
-PROOF(n,#G).
حالا فرضِ اضافیِ گودل این است که نظریهی ما ω-سازگار است، یعنی اینکه هیچ فرمولِ (A(xای نیست که
T ⊢ A(0), T ⊢ A(1), T ⊢ A(n), …;
T ⊢ ∃x -A(x).
یعنی نتیجه‌ی بدیهیِ فرضِ گودل این است که چنان اتفاقی نمی‌دهد؛ پس، اگر T خاصیتِ ω-سازگاری را داشته باشد، آنگاه G ابطال‌ناپذیر هم هست.
احتمالاً توجه کرده‌اید که گودل می‌توانست فرض کند که T صحیح است (یعنی N مدل‌اش است)؛ اما حقیقت این است که فرضِ ω-سازگاریِ T از فرضِ صحّتِ T ضعیف‌تر است. اما حتی ω-سازگاری هم قوی‌تر از آنی است که نیاز داریم: کافی است آنچه در تعریفِ ω-سازگاری هست برای همین یک فرمولِ خاصِ PROOF برقرار باشد، و لذا کافی است که این شرط را بگوییم که برای فرمول‌های تعریف‌کننده‌ی رابطه‌‌های بازگشتی برقرار است، یا، اصطلاحِ کرایزل را اگر به‌کار بگیریم، بگوییم که نظریهی ما 1-سازگار است. (به زبانِ امروزی، تعریفِ کرایزل از فرمول‌های بیان‌کننده‌ی تابع‌های بازگشتیِ اولیه صحبت میکند؛ وقتی گودل صحبت از "rekursive" میکند منظورش—با اصطلاحاتِ امروزی—بازگشتیِ اولیه است.) آیزکسن نشان داده است که حتی این شرط را هم می‌شود ضعیف‌تر کرد و گفت که اگر به نظریه این را اضافه کنیم که نظریه سازگار است، آنگاه نظریه ناسازگار نشود.
ح. بازگشت به این ادعا که G صادق است. استدلالِ مشهوری هست که این‌طور پیش می‌رود: G را دیدیم که اثبات‌ناپذیر است. اما G دقیقاً دارد همین را می‌گوید! پس G صادق است. فهو المطلوب. این استدلال را—متأسف‌ام که گزارش کنم که—در مقدمه‌ی مقالهی ۱۹۳۱ هم می‌شود دید (گرچه گودل تصریح میکند که در مقدمه دغدغه‌ی دقت ندارد). اولاً می‌شود دید که، چنان که پیشتر ادعا کردم، اگر T ناسازگار باشد آنگاه G در مدلِ استانداردْ کاذب است. فوراً اضافه کنم که این البته نقدِ نامنصفانه‌ای است چرا که در آن صورت مقدمه‌ی استدلال غلط می‌شود، چرا که G اثبات‌پذیر می‌شود. مهم‌تر: می‌دانیم که گودل بعداً فرضِ ω-سازگاری را وارد میکند، و با کمی سعه‌ی صدر می‌شود فرض کرد که در اینجا هم آن فرض برقرار است، و این فرضی است که مستلزمِ سازگاری است (اگر T سازگار نباشد آنگاه هر چیزی را اثبات میکند، از جمله چیزهایی را که، در تعریفِ ω-سازگاری، قرار است نظریهی ω-سازگار اثبات نکند). در واقع حتی می‌شود دید—و این جوابِ کامل‌تری به یک سؤالِ قبلی‌مان می‌دهد—که G در N صادق است اگر و فقط اگر G در T اثبات‌پذیر نباشد؛ اما نکته این است که این حکمِ اخیر ظاهراً متوقف بر این است که T صحیح باشد، یا دست‌کم برهانی که من برایش می‌شناسم صحیح‌بودنِ T را مفروض می‌گیرد. اما اگر T صحیح نباشد، نمی‌دانم که چطور می‌شود اثبات کرد که G در N صادق است. این را اگر در کنارِ این بگذاریم که ω-سازگاری نتیجه نمی‌دهد که T صحیح است (و این را کرایزل در دهه‌ی ۱۹۵۰ اثبات کرده است)، در این صورت احتمالاً موجّه خواهیم بود بگوییم که روشن نیست که استدلالِ گودل معتبر باشد.
خ. بالاخره: ویتگنشتاین! ویتگنشتاین استدلالی برای صادق‌بودنِ G را نقد میکند: این استدلال را که "فرض کنید G کاذب باشد؛ در این صورت این حرف صادق است که G اثبات‌پذیر است. و مسلّماً نمی‌شود که این‌طور باشد!" نقدِ ویتگنشتاین:
همان‌طور که می‌پرسیم: " 'اثبات‌پذیر' در کدام نظام؟"، به همان صورت باید این را هم بپرسیم: " 'صادق' در کدام نظام؟" 'صادق در نظامِ راسل'، چنان که گفته شد، یعنی: اثبات‌شده در نظامِ راسل؛ و 'کاذب در نظامِ راسل' یعنی: مخالف‌اش در نظامِ راسل اثبات شده است.—حالا "فرض کنید کاذب باشد"تان چه معنایی می‌دهد؟ به مفهومِ راسل این یعنی 'فرض کنید مخالف‌اش در نظامِ راسل اثبات شود'؛ اگر فرضِ شما این باشد، احتمالاً حالا این تعبیر را کنار می‌گذارید که گزاره اثبات‌ناپذیر است. و منظورم از 'این تعبیر' ترجمه‌اش به این جملهی زبانِ طبیعی است.
ویتگنشتاین این ایده‌ی بجا را مطرح میکند که "صادق" به‌تنهایی معنا ندارد. البته به‌نظر می‌رسد که فوراً به این دام می‌افتد که صدق را یکی بگیرد با اثبات‌پذیری در یک نظریه، و این می‌دانیم که توجیهی ندارد و بلکه غلط است؛ اما بیایید ادامه دهیم. در واقع، پاتنم و فلوید نقد را، با گذشتن از ایده‌ی صدق، این‌طور مطرح می‌کنند که بیایید لحظه‌ای فرض کنیم که G- اثبات‌پذیر باشد. توجه می‌کنیم که از این فرض برنمی‌آید که T ناسازگار است، بلکه این حکمِ ضعیف‌تر نتیجه می‌شود که نظریه‌مان ω-ناسازگار است. نتیجه‌ی ω-ناسازگاری این است که N مدلِ T نیست، و بیشتر: اینکه هر محمولی که T اثبات کند که مجموعه‌ی مصادیق‌اش نامتناهی است مجموعه‌ی مصادیق‌اش حاویِ عددهای غیراستاندارد است. اما از اول چرا فکر کرده بودیم که G را می‌توان به این صورت فهمید که دارد می‌گوید که G اثبات‌ناپذیر است؟ دلیل‌مان این بود که محمولِ PROOF وقتی در N تعبیر می‌شد خاصیتِ اثبات‌پذیری را به‌خوبی منعکس می‌کرد. اما حالا در مجموعه‌ی مصادیقِ این محمول حتماً اعدادِ غیراستانداردی هست، و در هیچ مدلِ Mای با mای غیراستاندارد معلوم نیست که چرا باید [PROOF[m,#G را این‌طور فهمید که دارد چیزی در موردِ اثباتی برای G می‌گوید. پس دلیلی نداریم که معتقد باشیم که G اصلاً دارد چیزی در موردِ اثبات‌پذیری می‌گوید. پس، اگرچه می‌پذیریم که G تعیین‌ناپذیر است، این را نمی‌پذیریم که G صادق و اثبات‌ناپذیر است. پاراگرافِ بدنامِ ویتگنشتاین را مرور کنیم: استدلالی که ویتگنشتاین دارد نقدش میکند این است که اگرG کاذب باشد آنگاه اشکالی پیش می‌آید که عبارت باشد از اینکه G، به واسطه‌ی آنچه دارد می‌گوید، باید کاذب و اثبات‌پذیر باشد، که این نشدنی است؛ در خوانشِ پاتنم و فلوید، ویتگنشتاین جواب می‌دهد که این استدلال جلو نمی‌رود چرا که اگر فرض کرده باشید که G کاذب است (و این در نزدِ ویتگنشتاین یعنی اینکه فرض کرده باشید که G- در T اثبات‌پذیر است)، آنگاه، به سببِ ω-ناسازگاری، G را دیگر نمی‌توانید به "G اثبات‌ناپذیر است" تعبیر کنید، و نمی‌توانید بگویید که اشکالی هست. به نظرِ ویتگنشتاینِ پاتنم و فلوید، خودِ فرضِ خلفْ معنای G را عوض میکند و راهِ استدلالِ برهانِ خلف را می‌بندد.
د. اینکه ویتگنشتاین دارد صدق را به معنای اثبات‌پذیری در نظریهی خاصی می‌گیرد چیزی نیست که از دیدِ همه مخفی مانده باشد. پاتنم و فلوید استدلال می‌کنند که هدفِ حمله‌ی ویتگنشتاین در ملاحظات‌اش فرگه و راسل‌اند (در مقامِ فیلسوفانِ ریاضیات، نه در مقامِ منطق‌دان)، و فرگه و راسل خود را در کارِ فراهم‌کردنِ یک زبانِ ایده‌آل یا یک مفهوم‌نگاشتِ می‌دیده‌اند که بر پای خود بایستد، نه (صرفاً) دستگاهِ نمادینی برای ترجمه‌ی جمله‌های زبان‌های طبیعی. در انجامِ این کار، آنان خود را در کارِ فراهم‌کردنِ مبنایی برای ریاضیات هم می‌دیدند. زبانِ طبیعی شاید جاهایی سرنخ‌هایی به ما بدهد، اما مثلاً فرگه معتقد بوده است که زبانِ طبیعی‌ای که برای توصیفِ نمادگذاریِ ایده‌آل به‌کار می‌بریم نمی‌تواند محتوای دقیقِ آن را فراچنگ آورَد. با چنین پیش‌زمینه‌ای، راسل و فرگه نمی‌توانستند قبول کنند که صدقِ جمله‌ای از پرینکیپیا صرفاً این‌طور تعیین شود که جمله‌ای به زبانِ طبیعی بنویسیم و بگوییم که جملهی PM معنای صادق‌بودنِ جمله را به‌دست می‌دهد (قس. استدلالِ گودل در مقدمه). این‌طور صحبت‌کردن—یعنی به‌دست‌دادنِ معنای جملهی در زبانِ PM با نگاه به آنچه جمله‌ای در زبانِ طبیعی می‌گوید—یعنی کنارگذاشتنِ پروژه‌ی بزرگِ منطق‌گراییِ فرگه و راسل. پاتنم و فلوید استدلال می‌کنند که برای ویتگنشتاین راهی نیست جز آنکه برای صدق و معنا متوسل شود به اثبات‌پذیری در نظامی صوری (و البته نمی‌توانم بفهمم که چرا چنین نظری قائل‌اش را به تحقیق‌گرایی ملتزم نمی‌کند.)
حالا من به‌جای پرداختن به این توضیحاتِ فلوید و پاتنم و نقدشان، می‌پردازم به انتقادِ تیموتی بِیز بر خوانشِ پاتنم و فلوید. بِیز، آنچنان که شایسته‌ی فیلسوفی مسأله‌محور است، سؤالِ اصلی‌اش این نیست که خوانشِ پاتنم و فلوید تا چه حد با متنِ ویتگنشتاین سازگار است؛ مسأله‌اش این است که از این ایده‌‌ای که این خوانش مطرح میکند می‌شود دفاع کرد یا نه. مسأله‌ی صدق را کنار بگذاریم؛ ایده‌ایی که می‌خواهیم بررسی کنیم این است: اگر معلوم شود که G ابطال‌پذیر است (یعنی نقیضِ G در T اثبات‌پذیر است)، آنگاه باید ترجمه‌ی G به صورتِ "G اثبات ناپذیر است" را کنار بگذاریم. می‌دانیم که اگر G ابطال‌پذیر باشد آنگاه نظریه‌مان ω-ناسازگار است و لذا N مدلِ T نیست. حالا می‌شود یکی از این دو کار را کرد: تعبیرِ پیش‌گفته‌ی G را کنار بگذاریم، و این از جمله مستلزمِ این است که N را دیگر مدلِ استانداردِ نظریهی موردِ بررسی‌مان نینگاریم؛ یا می‌توانیم تعبیرِ اثبات‌پذیری برای یکی از مفرداتِ G را نگه داریم، و این فرض را کنار بگذاریم که T (مشخص‌تر: PA) اصل‌موضوعی‌سازیِ خوبی برای حساب است. ایده (ای که پاتنم و فلوید به ویتگنشتاین نسبت می‌دهند) این است که راهِ اول را باید رفت؛ اما ظاهراً دلیلی به‌دست نمی‌دهند که چرا نمی‌شود N را نگه داشت و T را رها کرد. (این نتیجه وقتی حاصل می‌شد که ترجمه‌ی ما از G لازم بود مقیّد شود با رده‌ی مدل‌های T.) اما بیز بر آن است که، در صورتِ پیداشدنِ ω-ناسازگاری‌ای در PA، کاری که ریاضی‌دانان خواهند کرد این است که N را نگه دارند و به دنبالِ اصولی از PA بگردند که باعثِ ω-ناسازگاری شده است. بیز معتقد است—و به نظرِ من به‌درستی—که موضوعِ اصلیِ مطالعه در حسابْ خودِ ساختارِ N است، و شدیداً نامحتمل است که ریاضی‌دانان کنارش بگذارند و مدلی غیراستاندارد را برای مطالعه برگزینند. البته همین الآن هم مدل‌های غیراستاندارد را مطالعه می‌کنند (مثلاً برای اینکه ببینند گروه‌های خودریختی‌شان چگونه است، یا اثبات کنند که جمع یا ضرب‌شان غیربازگشتی است)، اما موضوعِ اصلیِ مطالعه این نیست؛ به نظر می‌رسد که موضوعِ مطالعه اولاً N باشد و تلاش‌ها برای اصل‌موضوعی‌سازیِ حسابِ حقیقی باشد. البته بیز حالتی عجیب را هم تصویر میکند: اینکه معلوم شود که اصلی از PA که مسببِ ω-ناسازگاری است چنان باشد که برداشتن‌اش قضایای مربوط به نمایش‌پذیری را هم سدّ کند.
تصورِ وضعیتِ اخیر بسیار دشوار است، زیرا برای نمایش‌پذیری همه‌ی کار را Qی رابینسن انجام می‌دهد، که بخشِ کوچکِ بی‌استقرائی از حساب است، و خیلی عجیب است که N مدل‌اش نباشد. و کشفِ مشکلاتی در Qی معصوم آنچنان عواقبِ گسترده‌ای دارد که معلوم نیست چه می‌کنیم اگر واقعاً پیش بیاید. در هر صورت، علی‌رغمِ زیبایی‌های PA، به نظر می‌آید که بعید است که Tی ω-ناسازگاری را نگه داریم و N را کنار بگذاریم—همان‌طور که اگر نظریهی فیزیکی‌ای که برای توصیفِ پدیده‌ای واقعی وضع شده چیزی را پیش‌بینی کند که آشکارا با پدیده در تعارض است، در آن صورت نظریه را کنار می‌گذاریم و به دنبالِ اصولِ دیگری برای توصیفِ پدیده می‌گردیم، نه اینکه نظریه را نگه داریم و مدل‌های دلخواه (و "غیراستاندارد")اش را مطالعه کنیم.
ذ. پاتنم و فلوید به بیز جوابی داده‌اند، و جوابی از بیز هم در راه است. طرفین همدیگر را به بدفهمی متهم می‌کنند، اما من مجموعاً به بیز نزدیک‌ترم. در ادامه سعی می‌کنم نقصی را مطرح کنم که به نظرم در موضعِ ویتگنشتاین/پاتنم-فلوید هست و ندیده‌ام که به آن توجه کرده باشند. من می‌پذیرم که بصیرتی در این هست که ω-ناسازگاریْ ترجمه را متلاشی میکند؛ اما به نظرم می‌رسد که خوانشی هم‌دلانه با گودل راه را بر انتقادِ ویتگنشتاین می‌بندد. حقیقت این است که، چنان‌که ستاینر هم اشاره کرده است (272)، گودل در مقدمه‌اش قضیه‌اش را (که در مقاله برایش برهان می‌آورَد) مفروض می‌گیرد، و بعد پیش می‌رود و استدلال میکند که G در N صادق است. اگر گودل دارد قضیه‌اش را مفروض می‌گیرد، در این صورت معقول است که فرض کنیم که گودل دارد ω-سازگاری را مفروض می‌گیرد. با مفروض‌گرفتنِ ω-سازگاری، دیگر استدلالی که پاتنم و فلوید به ویتگنشتاین نسبت می‌دهند پیش نمی‌رود: دیگر نمی‌توان دغدغه‌ی این را داشت که اگر G- اثبات‌پذیر باشد چه می‌شود، چون می‌دانیم که G- اثبات‌پذیر نیست. بنابراین، در جوابِ ویتگنشتاینِ پاتنم و فلوید می‌شود این‌طور گفت: مفروضاتِ گودل دارد دو کار انجام می‌دهد: هم نشان می‌دهد که G- اثبات‌پذیر نیست، و هم نشان می‌دهد که ترجمه‌ی G به "من اثبات‌پذیر نیستم" ترجمه‌ی موجّهی است. (گودل پیشتر می‌رود و می‌گوید که، بنابراین، G صادق هم هست، و من نگرانی‌ام در این مورد را بیان کرده‌ام؛ اما این بحثِ دیگری است.)
ر. نهایتاً، به نظرم می‌شود بصیرتِ منسوب به ویتگنشتاین را در موردِ قضیه‌ی دومِ ناتمامیت هم به‌کار برد، و این بار به نحوی که بدیهی نباشد که جوابِ گودل چه خواهد بود. مطابقِ قضیه‌ی دومِ ناتمامیت، T نمی‌تواند جملهی (Pr(#0 = 1- را اثبات کند—یعنی نمی‌تواند جمله‌ای را اثبات کند که سنّتاً آن را (Con(T می‌نامند. اگر T بتواند "1 = 0" را اثبات کند، آنگاه T ناسازگار است، و اگر T ناسازگار باشد، آنگاه می‌تواند هر چیزی را، و از جمله جملهی "1 = 0" را، اثبات کند؛ پس عجیب نیست که مرسوم است که (Con(T را به سازگاربودنِ T تعبیر می‌کنند. اما توجه می‌کنیم که برای اثباتِ قضیه‌ی دوم، گودل فرض نمی‌کند که T نظریه‌ای ω-سازگار است: همان فرضِ سازگاریِ ساده کافی است. (در واقع، سخت نیست دیدنِ اینکه (Con(T معادل است با همان Gی خودمان، که برای اثبات‌ناپذیری‌اش سازگاریِ صرف کافی است.) پس، تا جایی که به قضیه‌ی دومِ ناتمامیت مربوط می‌شود، می‌شود که نظریه ω-ناسازگار باشد. اما در این صورت، دقیقاً همان ملاحظاتی که پاتنم و فلوید به ویتگنشتاین نسبت می‌دهند شکّ معقولی ایجاد میکند که (Con(T را نشود به سازگاریِ T تعبیر کرد.
II. بخشِ غیرریاضی.
در یک مقالهی سالِ ۲۰۰۱اش، مارک ستاینر می‌گوید که پاراگراف‌های بدنامِ ویتگنشتاین شبیه‌اند به تلاشی دن‌کیشوت‌وار و مسبوق به اطلاعاتِ ناقص برای ردّ قضیه‌ی ناتمامیت. شواهدی هم ذکر میکند، از جمله اینکه—به نقل از کرایزل در یک مقالهی اواخرِ قرن—که ویتگنشتاین از مقدمه‌ی مقالهی ۱۹۳۱ فراتر نرفته بوده است. اینکه فراتر رفته بوده است یا نرفته بوده است چیزی است که به آن علاقه‌ای ندارم (یا بهتر بگویم: شاید در خلوتِ خودم زندگی‌نامه‌ی ویتگنشتاین را بخوانم و برایم جالب باشد ببینم که آیا واقعاً مقالهی گودل را خوانده است یا نه؛ اما در مقامِ تأملی فلسفی و برای صحبت در جمعی جدی، اینکه قضیه و برهان‌اش را فهمیده یا نفهمیده برای من همان‌قدر مهم است که بدانم هلو بیشتر دوست داشته است یا خیار). شواهدِ متنی‌ای به ما می‌گوید که آنچه در ملاحظات به دنبال‌اش است نه ردّ قضیه، بلکه ردّ این بیانِ متداول/عامیانه بوده است که گودل اثبات کرده است که به ازای هر نظامِ صوریِ سازگاری که اصل‌موضوع‌پذیر باشد و حساب را هم بشود در آن تعبیر کرد، گزاره‌هایی هستند که صادق‌اند و در آن نظامْ تعیین‌ناپذیرند. با این حال، من ویتگنشتاین‌شناس نیستم، و مضحک است که با آلمانی‌بلد‌نبودن و خواندنِ دو کتاب و پنج مقاله بیایم نظریه‌پردازی کنم که واقعاً منظورِ ویتگنشتاین چه بوده است. کاری که می‌خواهم انجام بدهم این است که گزارشی به‌دست بدهم از مقالهی ستاینر. فرضِ او—که برایش خیلی هم استدلال نمی‌کند—این است که ویتگنشتاین واقعاً در کارِ ردّ قضیه بوده است، و معتقد است که از این کارِ او نمی‌شود دفاع کرد؛ کاری که ستاینر انجام می‌دهد به‌دست‌دادنِ شرحی است (خواندنی) از اینکه ویتگنشتاین چرا خواسته است چنین کند. گزارشِ من مختصر خواهد بود.
اگر کسی که می‌خواهد قضیه‌ی گودل را ردّ کند فیلسوفی بود که در ریاضیاتْ تجدیدنظرطلب ("ریویزیونیست"!) است، در این صورت خیلی جای شگفتی نبود—فیلسوفانِ شهودگرای ریاضیات این را می‌گویند که فلان رده از اثبات‌های متعارفِ ریاضی را باید کنار گذاشت. اما ویتگنشتاین کسی است که معتقد است کارِ فلسفه توصیف است و "همه چیز را همان‌طور که هست باقی می‌گذارد. / ریاضیات را هم همان‌طور که هست باقی می‌گذارد، و هیچ کشفِ ریاضی نمی‌تواند به پیش ببرَدش. برای ما یک 'مسأله‌ی مهمِ منطقِ ریاضی' مسأله‌ای است در ریاضیات مثلِ هر مسأله‌ی دیگری." غیر از این، حتی اگر شهودگرای تحقیق‌گرای تجدیدنظرطلبی هم بود، باز موردی برای ردّکردن نمی‌بود، چرا که برهانِ گودل هم ساختنی است و هم متناهیک! [اینکه کارِ گودل ساختنی است هم به این سبب است که نظری داشته به برنامه‌ی هیلبرت و پروژه‌ی مبانیِ ریاضیات، و هم اینکه برای اثباتِ قضیه‌ی دومِ ناتمامیت لازم‌اش داشته.]
مسأله از این هم پیچیده‌تر می‌شود اگر توجه کنیم که اصلاً ویتگنشتاین می‌توانسته از قضیه‌ی ناتمامیتِ گودل به نفعِ مواضعِ خودش استفاده کند. ستاینر به ما می‌گوید که ویتگنشتاین نوعی از فلسفه را سخت ناخوش می‌داشته است که ستاینر آن را "فلسفه‌ی آکادمیک" می‌خوانَد. مشخصه‌ی اصلیِ فیلسوفِ آکادمیک این است که شوقِ شدیدی دارد به به‌دست‌دادنِ تبیین و توضیحِ فلسفی برای چیزهایی که، نهایتاً، فقط می‌شود توصیف‌شان کرد—و نمونه‌هایی از این مفاهیم: عدد، برهان، صدق. فیلسوفِ آکادمیک سعی میکند این مفاهیم را با توسل به "شهودِ ریاضی" تبیین کند و توضیح دهد، و یک راهبردِ اصلیِ ویتگنشتاین برای استدلال بر ضدِ فیلسوفِ آکادمیک این است که استدلال کند که هیچ کدام از این مفاهیمِ عدد و برهان و صدق هیچ ذاتِ ثابتِ ازلی‌ای ندارد (در موردِ عدد در پژوهش‌های فلسفی 67§ در این مورد استدلال میکند). ستاینر استدلال میکند که برای این کار قضیه‌ی گودل می‌تواند در خدمتِ ویتگنشتاین باشد، به این صورت که مفهومِ عدد را نمی‌توان با مجموعه‌ای متناهی (یا حتی شمارش‌پذیرِ بازگشتیانه) فراچنگ آورْد—یعنی که هیچ روالِ صوری‌ای نمی‌تواند همه‌ی آنچه از "عدد" مراد می‌کنیم را فراچنگ آورَد. [البته این شاید هنوز واقع‌گرای سرسختِ افراطی را راضی نکند؛ اما به هر حال به نظر می‌رسد که شاهدی باشد بر درستیِ نظرِ ویتگنشتاین.] و نهایتاً اینکه قضیه‌ی گودل این را معقول جلوه می‌دهد که تلاش برای صوری‌سازیِ سراسریِ ریاضیات نافرجام است، و این به‌نظر می‌رسد که تأییدی باشد بر این نظرِ ویتگنشتاین که ریاضیات مجموعه‌ای است چهل‌تکه و رنگارنگ [motley] از روش‌های مختلف برای اثبات. ستاینر یادش نرفته که به ما گفته است که، در نظرِ ویتگنشتاین، قضایای ریاضی (و منطقی) اثری بر فلسفه ندارند؛ حرفِ ستاینر این است که ویتگنشتاین می‌توانست استدلال کند که، با این فرض (غلط) که قضیه‌ی گودل به فلسفه ربطی دارد، نتایجِ این قضیه حامیِ آراءِ فلسفیِ او است. (ستاینر این را هم برایمان توضیح می‌دهد که در مواضعی، کاری که ویتگنشتاین میکند برهانِ خلفِ معمول نیست: ویتگنشتاین نظرِ مخالف‌اش را فرض نمی‌کند، چرا که، در مواضعی، فرضِ مخالف به نظرش آن‌قدر نامعقول است که نمی‌تواند فرض‌اش کند؛ بلکه وانمود میکند که آن را فرض میکند.)
خب، حالا چرا، با همه‌ی اینها، ویتگنشتاین بر ضدِ قضیه‌ی گودل استدلال میکند (اگر که میکند)؟
اولاً (یا: مقدمتاً) توجه کنیم که آنچه ویتگنشتاین بر ضدش استدلال میکند—یعنی اینکه گزاره‌ای هست که اثبات‌ناپذیر و صادق است—چیزی نیست که در خودِ قضیه‌ی گودل باشد. قضیه‌ی گودل صرفاً می‌گوید که حکمی هست که اثبات‌ناپذیر است و (با فرضِ اضافه‌ی ω-سازگاری) نقیض‌اش هم اثبات‌ناپذیر است. صحبتی از صدق نیست! اما خودِ گودل در رواج‌دادنِ این تعبیرِ صادق و اثبات‌ناپذیر کمتر از هیچ کس مقصر نبوده است: نه فقط در مقدمه‌ی مقاله‌اش (که البته می‌گوید که در آن دغدغه‌ی دقت ندارد) صحبت از صدقِ جملهی گودل میکند، در مقدمه می‌گوید که استدلالْ یادآورِ پارادکسِ دروغگو است. ویتگنشتاین بر ضدِ این استدلال است که دلیل می‌آورَد. ستاینر سعی میکند همین استدلالِ معناشناختی را تدقیق کند، به این صورت که صحبت کند از صدقِ جمله (به روشِ تارسکی) در همه‌ی دنباله‌های اعدادِ طبیعی، و این را هم بررسی میکند که شاید ویتگنشتاین جواب دهد که صدقِ تارسکی صدق نیست؛ من در این گزارش به این بحث نخواهم پرداخت.
حمله‌ی ویتگنشتاین را می‌شود مقایسه کرد با خوش‌نداشتن‌اش قضیه‌ی کانتور و روشِ قطریِ کانتور را، که در ملاحظات به آن می‌پردازد. ویتگنشتاین تجدیدنظرطلب نیست، و می‌شود این‌طور فکر کرد که ، در نظرِ او، نظریهی کانتوریِ مجموعهها ریاضیات نیست بلکه مابعدالطبیعه است و لذا استدلال بر ضدش بلااشکال است. اما ستاینر می‌گوید که دلیلِ بدآیندِ ویتگنشتاین از نظریهی مجموعهها این است که، به نظرِ ویتگنشتاین، نظریهی مجموعهها نه فقط هیچ کاربردی در بیرون از ریاضیات ندارد، بلکه در خودِ ریاضیات هم کاربردی ندارد. نهایتاً، در خوانشِ ستاینر، ویتگنشتاین نمی‌گوید که نظریهی مجموعهها غلط است یا اینکه ریاضی‌دانان حق ندارند به آن بپردازند، بلکه دارد می‌گوید که نظرش این است که نظریهی مجموعهها فرقِ فارقی دارد با بقیه‌ی شاخه‌های ریاضیات.
در موردِ قضیه‌ی ناتمامیت، می‌شود این‌طور حدس زد که مقدمه‌ی گودل باعث شده ویتگنشتاین گمان کند با پارادکسی مواجه است، نه با اثباتی محکم. دیگر اینکه شاید این برایش مهم بوده که جملهی گودل (یعنی G) هیچ جذابیتِ ریاضی‌ای ندارد—جمله را وقتی در مقامِ حکمی در نظریهی اعداد بررسی کنیم، آن‌قدر طولانی است که نمی‌شود یک‌جا فهمیدش. اما، اگر این حدس‌ها درست باشد، ویتگنشتاین شدیداً بر خطا بوده است. برنامه‌ای که با کارِ گودل شروع شد به‌سرعت منجر شد به جواب‌دادن به بعضی سؤال‌ها که از پیش مطرح بود. مثلاً (و ستاینر این مثال را ذکر نمی‌کند) مسأله‌ی تعیینِ هیلبرت (پیداکردنِ الگوریتمی برای تعیینِ اعتبارِ منطقیِ فرمول‌های مرتبه‌ی اول) را فهمیدیم که جواب ندارد. ویتگنشتاینِ جوان جدولِ صدق را مطرح کرد؛ حالا اگر کسی به دنبالِ این بود که الگوریتمِ مشابهی برای فرمول‌های مرتبه‌ی اول پیدا کند، قضیه‌ی چرچ به او می‌گوید که سعی‌اش عبث خواهد بود. (امروزه، نامعمول نیست که در یک جلسه—در اواخرِ اولین درسِ منطقِ بعد از دوره‌ی کارشناسی—هم قضیه‌ی ناتمامیت را اثبات کنند و هم قضیه‌ی چرچ را.)
اما اینها همه پیش‌زمینه‌ی موضوع را نشان می‌داد. حرفِ اصلیِ ستاینر این است که ویتگنشتاین قربانیِ گودل‌هراسی شده بود. ظاهراً امرِ واقع این است که قضیه‌ی گودل به‌سرعت تبدیل شده بود به نماد و پشتیبانی مهم برای واقع‌گرایی در ریاضیات—مشخصاً: تبدیل شده بود به دلیلی مهم و بلکه دلیلِ اصلی برای این ادعا که صدقِ ریاضی چیزی است فراتر از آنچه اثباتِ قضایای ریاضی به ما می‌دهد. به روایتِ ستاینر، ویتگنشتاین این نتیجه‌گیریِ عامیانه/محبوب از قضیه‌ی گودل را مفروض گرفته بود، و راهی نداشت جز حمله به خودِ قضیه‌ی گودل. کاری که ویتگنشتاین می‌بایست کرد این بود که بگوید که واکنشِ جهانِ آکادمیک به قضیه‌ی ناتمامیت حساب‌شده نبوده و سخت منفعلانه بوده است. قضیه به ما می‌گوید که صدق را با اثبات‌پذیری در هیچ تک‌نظامی نمی‌شود یکی گرفت؛ اما نتیجه‌ای که شاید می‌شد گرفت این بوده است که صدقِ ریاضیْ چهل‌تکه است. فیلسوفِ آکادمیک نتیجه گرفته است که صدقِ ریاضی اصلاً در هیچ نظامی با اثبات‌پذیری فراچنگ نمی‌آید—و افلاطون‌گرایی نتیجه‌ی ناگزیرِ این است.
