ریاضیاتِ سالِ دهم: امتحانِ معادله‌ی درجه‌ی دوم

[دانش‌آموزان‌ام در این امتحان بسیار خوب عمل کرده‌اند. رهیافتِ ما به سهمی با کتابِ درسیِ آموزش و پرورش تفاوت داشته‌ است: ما تعریفِ هندسیِ سهمی را مطالعه‌ کرده‌ایم و بعد معادله‌‌ی سهمی‌ای با خطِ هادیِ موازیِ یکی از محورها را به‌دست آورده‌ایم. با تعریفِ کتابِ درسی، پاسخِ آخرین سؤالِ امتحان (سؤالِ امتیازی) منفی می‌بود. سؤالِ ۶ عمداً چنان طرح شده که ریشه‌های صورت گنگ باشند و سؤال دارد این را هم می‌سنجد که ترتیبِ ریشه‌های صورت و مخرج به‌درستی تعیین شوند. در موردِ‌ سؤالِ ۱۱: از طریقِ دیگری این ایده مطرح شده بوده است که عبارت‌هایی که به توانِ مجذورِ x رسیده‌اند مزدوجِ یکدیگرند.]

توجه: در این امتحان، جواب‌های تقریبی (حتی با تقریبِ بسیار بالا) پذیرفتنی نیست. مثلاً جذرِ 2 را نمی‌توانید به صورتِ 1.4142135623731 بنویسید.

پیشنهاد: برای کم‌کردنِ احتمالِ اشتباه،‌ معادله‌ی درجه‌‌ی دومِ خاصی را در چرک‌نویس بررسی کنید و ببینید که مجموع و حاصل‌ضربِ ریشه‌هایش چیست.

بخشِ اول. [هشتاد دقیقه]

۱. معادله‌ی 5x² − 12x + 2 = 0 را در نظر بگیرید. بدونِ به‌دست‌آوردنِ جواب‌های معادله به این پرسش‌ها پاسخ دهید. [هر قسمت ۱ نمره]

(الف) توضیح دهید که چرا این معادله دو جواب دارد.

(ب) توضیح دهید که جواب‌ها مثبت هستند یا منفی.

(پ) اگر α و β جواب‌های این معادله باشند، مقدارِ عددیِ α² + β² چقدر است؟

(ت) اگر α و β جواب‌های این معادله باشند، مقدارِ عددیِ مجموعِ ریشه‌های دومِ α و β چقدر است؟

--

۲.

(الف) آیا معادله‌ی درجه‌ی دومی وجود دارد که دو جواب داشته باشد و مجموعِ جواب‌هایش 61 و حاصل‌ضربِ جواب‌هایش 2030 باشد؟ اگر بله، معادله‌ای با این ویژگی بنویسید؛ اگر نه،‌ دلیل بیاورید. [۱ نمره]

(ب) معادله‌ی درجه‌ی سومی بنویسید که 1395 و 29 دو تا از جواب‌هایش باشد (مهم نیست که معادله‌ای که می‌نویسید جوابِ دیگری هم داشته باشد یا نه؛ اگر معادله‌ای که می‌نویسید جوابِ دیگری هم دارد، مهم نیست آن جواب چه باشد). لازم نیست معادله را به شکلِ استاندارد بنویسید. [۱/۵ نمره]

--

۳. آیا عبارتِ x² + 2x + 70 را می‌شود تجزیه کرد؟ اگر بله، تجزیه کنید؛ اگر نه، دلیل بیاورید. [۱ نمره]

--

۴. این عبارت را به صورتی بنویسید که حاویِ رادیکال‌های تودرتو یا رادیکال‌های با فُرجه‌ی بزرگ‌تر از 2 نباشد. [۱ نمره]

√(10 + 2√21)

--

۵. این معادله‌ها را حل کنید. [هر قسمت ۱ نمره]

(الف)

x² − 8x + 21 = 0

(ب)

x⁴ − x² − 42 = 0

(پ)

x³ + x² + x − 14 = 0

--

۶. این عبارت را تعیینِ علامت کنید. [۱/۵ نمره]

(3x² + 7x − 3) / (− x² + x).

----

مسأله‌ی امتیازی (۱ نمره).

فرمولِ جواب‌های معادله‌ی درجه‌ی دوم را در حالتِ کلّی به‌دست آورید.

بخشِ دوم [هشتاد دقیقه].

۷. این سهمی را در دستگاهِ مختصات رسم کنید. باید این نقطه‌ها در نمودارتان با ذکرِ‌ مختصاتْ مشخص باشند: رأسِ سهمی، محل‌های تقاطع با محورها (اگر که تقاطعی وجود دارد). [۱/۵ نمره]

y = 2x² + x − 3.

--

۸. بدونِ‌استفاده از فرمول‌های سهمی، بیشترین مقدار و کمترین مقدارِ این عبارت‌ها را محاسبه کنید (هر کدام که وجود دارد). [هر قسمت ۰/۵ نمره]

(الف)

y = 2x² + 3x − 1

(ب)

y = −3x² + 6x + 2

--

۹.

(الف) آیا ممکن است دو سهمی هیچ محلِ تقاطعی نداشته باشند؟ اگر بله، مثال بزنید (با ذکرِ معادله)؛ اگر نه، دلیل بیاورید. [۰/۵ نمره]

(ب) مختصاتِ نقاطِ تلاقیِ این سهمی‌ها را به‌دست آورید. [۱ نمره]

y = x² − 2x, y = −x² − 2x +8.

--

۱۰. این معادله را حل کنید: [۱/۵ نمره]

((x − 2) / (3x + 1))² − 4(x − 2) / (3x + 1) + 3 = 0.

--

۱۱. این معادله را حل کنید. [۱/۵ نمره]

(√45 − 2√11)^x2 + (√45 + 2√11)^x2 = √180.

----

مسأله‌ی امتیازی (۰/۵ نمره).

آیا ممکن است دو سهمیِ متمایز بیش از دو نقطه‌ی مشترک داشته باشند؟ اگر بله، مثال بزنید (با ذکرِ معادله‌های سهمی‌ها)؛ اگر نه، دلیل بیاورید.

"You go your way / I'll go your way too"

یادم هست که از حیرت زبان‌ام بند آمد وقتی که بارِ اول شنیدم که می‌خوانْد:

Now I've heard there was a secret chord

That David played, and it pleased the Lord

But you don't really care for music, do you?

It goes like this 

The forth, the fifth

The minor fall, the major lift...

و شب خواب‌ام نمی‌بُرد و در ذهن‌ام می‌گشت که

Her beauty and the moonlight overthrew you.

کسی را می‌شناسم که معمولاً اغراق نمی‌‌کند و می‌گوید که، بنا بر معامله اگر بود، حاضر بود یک دست‌اش را بدهد و بارانیِ آبیِ معروف را خودش سروده بوده باشد. می‌اندازدمان وسطِ ماجرای عاشقانه‌ای که چندان معلوم نیست که چیست، و در پنج دقیقه به طرزی درگیرمان می‌کند که رهایی‌مان شاید راحت نباشد. همان شعری که تمام می‌شود با ارادتمند، اِل. کوئن.

چند تا از آهنگ‌هایش هست که هر کدام را صدها بار شنیده‌ام (در این زمانه‌ی آی‌پاد می‌شود آمارِ دقیق داد)، و بارها حیرت کرده‌ام از این عمق و شدتِ شاعرانگی. بارها، از جهاتی، یادِ چیزهایی افتاده‌ام که از شاعرانِ خیلی بزرگِ خیلی قدیم می‌شنویم، یادِ رودکی که، به گزارشِ نظامی‌عروضی، "چنگ برگرفت و در پرده‌ی عشاق این قصیده آغاز کرد: بوی جوی مولیان آید همی...".

لِنِد کوئن، با آن صدای بم‌شده و آن شعرهای شگرف و ترانه‌های غمگینِ عاشقانه و طنزِ پوچ‌گرایانه‌ی غریب، دیروز درگذشت.

سؤال ملغوم

خبرِ خبرگزاریِ محترمِ فارس:

به گزارش گروه بین‌الملل خبرگزاری فارس، سفیر عربستان سعودی در آمریکا در اظهار نظری عجیب حمله با بمب‌های خوشه‌ای به یمن را «کتک زدن همسر» مقایسه کرد.

«عبدالله بن فیصل» که در جمع خبرنگاران صحبت می‌کرد، با این مقایسه تلاش کرد تا از پاسخ به سوال خبرنگار پایگاه «اینترسپت» که از او پرسید «آیا عربستان حمله با بمب‌های خوشه‌ای به یمن را متوقف می‌کند؟»، طفره رود.

این مقام سعودی با خنده گفت: «این سوال مثل این است که بپرسید که آیا از کتک زدن همسرت دست برمی‌داری؟»

آقای سفیر دارد می‌گوید که سؤالِ شما جهت‌دار است، و مثالی که به‌کار می‌برَد در زبانِ انگلیسی مشهور است. فرض کنید از کسی می‌پرسید "آیا کتک‌زدنِ همسرت را متوقف کرده‌ای؟" سؤال‌شونده اگر بگوید بله و اگر بگوید نه، در هر دو صورت این پیش‌فرض را پذیرفته است که دست‌کم در زمانی همسرش را می‌زده است. در بعضی لغت‌نامه‌ها هم این جمله عیناً آمده است، با توضیحی نزدیک به همین که عرض کردم.

کمترین علاقه‌ای به حکومتِ پادشاهیِ عربستانِ سعودی ندارم. فاجعه‌ی حجِ ۱۴۳۶ هنوز تازه است، و یمن را هم روزانه می‌بینیم؛ اما شاید بد نباشد پیش از آنکه خبری که خوانده‌ایم یا فیلمی که در یوتیوب دیده‌ایم را در بولتن‌مان منتشر کنیم یا در توئیتر بگذاریم و با بازخوردهای عرب‌ستیزانه‌اش شاد شویم، مطمئن بشویم که زبانِ انگلیسیِ به‌کاررفته را فهمیده‌ایم.

Loaded Question

سؤال ملغوم

مثلِ سرمه

همچون آن سرمه که دختِ خوبروی

هم به سانِ گـَرد بردارد از اوی:

گرچه هر روز اندکی برداردش

به‌افدم روزی به پایان آردش.

--
افدُم (شکلِ دیگر: آفدُم) یعنی فرجام و عاقبت. شعر از رودکی است، و در مصراعِ چهارم ظاهراً باید خواند بافدُم.

بدیهیات در حقوقِ متهم و انتظاراتِ جامعه

اتهام‌های آقای سعید طوسی چیزی نیست که، حتی از نظرِ‌ کسی که فقط اخبارِ رسمیِ جمهوری اسلامی را پیگیری می‌کند، پنهان مانده باشد: مثلاً در خبرِ خبرگزاری فارس از نشستِ خبریِ سخنگوی قوّه‌ی قضائیه نامِ ایشان عیناً آمده است و دست‌کم از "تشویق به فساد" صحبت شده است. موضوع مخفی نیست، یا دیگر مخفی نیست. در موردِ بعضی جرائمِ خاص هم حکمِ‌ شرع البته مشخص است.

اتهام‌ها مهیب است، و واکنش‌ها طبیعی است که شدید باشد. اما کاش این هم روشن باشد که طبیعی‌بودنِ چیزی به این معنا نیست که مُجاز هم هست. حتی برخی فرهیختگان و کتاب‌خوانان هم می‌شنویم که از اتهامْ چونان امرِ درمحکمه‌اثبات‌شده صحبت می‌کنند، و (حتی شاید بدتر) می‌بینیم که در رسانه‌های مکتوب هم از "قاری متجاوز" می‌گویند. متجاوز خواندنِ آقای طوسی حاکی است از به‌رسمیت‌نشناختنِ حقوقِ متهم. کسی که دیگری را به صِرفِ اتهام (یا به صرفِ متهم‌بودن و در جناحِ‌مقابل‌بودن) مجرم می‌خوانَد، هیچ تعجب نمی‌کنم که خود اگر در مسندِ قدرت باشد مخالفان‌اش را بی‌محاکمه محبوس کند.

دوباره: به خودمان این توصیه‌ی قدیمی را یادآوری کنیم که دشمنی با گروهیْ ما را بر آن ندارد که از عدالت دور شویم.

قاعدتاً باید این هم روشن باشد که رسیدگی به چنین اتهام‌هایی باید طوری باشد که وجدانِ جامعه را مجاب کند (حتی اگر منتشرکننده‌ی اولیه یا اصلی یا مهمِ اتهام‌ها رسانه‌ای باشد که آشکارا با حکومتِ ایران دشمنی داشته باشد و مجری‌اش آن‌قدر شرافتِ حرفه‌ای نداشته باشد که وقتی به کسی تلفن می‌کند بگوید که از کجا است). 

پذیرفتنِ طنّازانه‌ی اتهامِ انتحال

نه: این مطلبی درباره‌ی وضعیتِ حکمت و فلسفه در ایران نیست!

خانمِ ملانیا ترامپ (همسرِ آقای دانلد ترامپ، کاندیدای جمهوری‌خواهِ ریاست‌جمهوریِ ایالاتِ متحده) چند ماه پیش سخنرانی کرد، و فوراً معلوم شد که متنِ صحبتِ ایشان حاویِ جمله‌هایی است بسیار شبیه به جمله‌هایی از یک سخنرانیِ خانمِ‌ میشل اوباما (همسرِ رئیس‌جمهورِ فعلی) در سالِ ۲۰۰۸. 

سخنرانی‌نویسِ خانمِ ترامپ توضیح داد و عذرخواهی کرد.

در میهمانیِ دیشبْ هر دو کاندیدای مهمِ ریاست‌جمهوری حاضر بوده‌اند، و آقای ترامپ گفته است: "... می‌دانید که رئیس‌جمهور از من خواسته است که دیگر نِق نزنم، اما واقعاً باید بگویم که رسانه‌ها امسال جانبدارانه‌تر از همیشه‌اند. دلیل می‌خواهید؟ میشل اوباما سخنرانی می‌کند، و همه دوست‌اش دارند. معرکه است. فکر می‌کنند که او بسیار درخشان است. ملانیا همسرِ من دقیقاً همان سخنرانی را انجام می‌دهد، و همه از او انتقاد می‌‌کنند! و من این را نمی‌فهمم. نمی‌‌دانم چرا."

اما صِرفِ شهرتْ شخص را مهدور نمی‌کند

تصورِ من این است که نامه‌ی عاشقانه علی‌الاصول چیزی است خصوصی. یا، دست‌کم در نبودِ اطلاعی موثّق یا استنتاجی قابلِ اعتماد در این مورد که نویسنده راضی بوده که دیگران هم بخوانندش،‌ به نظرم فرض را باید بر این گذاشت که انتشارش مجاز نیست. جوابِ اعتراض به انتشارِ نامه یا نامه‌های فروغ فرخزاد این نیست که شاعرِ مهمِ روزگارِ ما میراثِ فرهنگیِ همه‌ی ما است: اینکه کسی محبوب و مشهور باشد جوازِ نقضِ حریمِ‌ خصوصی‌اش نیست. تا آنجا که در تصورِ من می‌گنجد، تنها جوابِ مقبول به چنان اعتراضی می‌تواند این باشد که مدارکی به‌دست دهند که نشان‌ دهد نویسنده راضی بوده است.

جنابِ آقای ابراهیم گلستان اندیشمند و هنرور و بلندطبع است و نثرِ فارسی‌اش درخشان است؛ اما آگاهی از شأنِ ایشان نباید باعث شود فراموش کنیم که افراد، حتی اگر پنجاه سال از مرگ‌شان گذشته باشد، حقوقی دارند، از جمله اینکه نامه‌‌های خصوصی‌شان بدونِ رضایت‌شان منتشر نشود. کاش آقای گلستان به جامعه خبر دهند که می‌دانند نویسنده به انتشارِ این نامه‌ها راضی بوده (یا توضیح دهند که، با شناخت‌شان از نویسنده، شواهدِ محکمی دارند که به انتشارِ اینها رضایت می‌داده).

--

قاعدتاً باید روشن باشد که مبنای استدلالِ من کاری به این ندارد که آنچه منتشر می‌شود نامه یا نامه‌ی عاشقانه باشد، یا محتوایش را عرف بپسندد یا نپسندد: آنچه در اینجا مدخلیت دارد رضایتِ نویسنده است. یک حالتِ افراطی (مستقل از بحثِ نامه‌های فروغ) این است که بدانیم که خالقِ اثر اصلاً به‌‌صراحت خواسته بوده است که اثرش منتشر نشود. اینکه قصر هوش‌رُبا است باعث نمی‌شود که کسی مجاز باشد که، بر رغمِ تأکیدِ نویسنده، منتشرش کند. این هم قاعدتاً باید روشن باشد که این بحث مربوط می‌شود به حقوقِ اشخاص از آن حیث که شهروند هستند، نه مقامات وقتی که با حوزه‌ی مسؤولیت‌شان سروکار داریم.

One more cup of coffee, Dylan

قبلاً پیش نیامده بود که خبرِ هیچ جایزه‌ی نوبلی هیجان‌زده‌ام کرده باشد.

سنّ‌ام به این قدّ نمی‌دهد که خبرِ جایزه‌های ۱۹۵۰ و ۱۹۵۷ و ۱۹۶۴ را همان موقع خوانده یا شنیده باشم.

از عقلِ سلیم تا سواد

بی‌بی‌سی فارسی در مطلبی با عنوانِ "اثر نقاش هلندی که میلیون‌ها پوند به فروش رسیده بود ‍‍'جعلی' است" نوشته است:

موسسه حراج ساتبیز لندن اعلام کرد که یکی از تابلوهای فرانس هالس، نقاش برجسته هلندی که حدود ۸ میلیون و پانصدهزار پوند به فروش رسیده بود "جعلی" است.

احتمالاً عقلِ سلیم کفایت می‌کند برای اینکه تعجب کنیم از اینکه مؤسسه‌‌ای گفته باشد که یکی از تابلوهای هالس جعلی است، و محصوربودنِ واژه‌ی "جعلی" در علائمِ نقلِ قول هم کمکی به شگفتی‌زدایی نمی‌کند. خودِ عنوانِ بی‌بی‌سی فارسی هم تعجب‌آور است: هلندی‌بودنِ نقاشِ این اثرِ جعلی را از کجا فهمیده‌اند؟ در ادامه‌ی خبر چیزی در این مورد نمی‌خوانیم که نقاشِ این تابلوی جعلی کیست؛ پس چرا عنوان می‌گوید "اثرِ نقاشِ هلندی"؟

نمی‌دانم نویسندگانِ بی‌بی‌سی فارسی و ویراستارانِ این وبگاه (اگر که ویراستاری داشته باشد) با چه ضوابطی انتخاب شده‌اند و چه درسی خوانده‌اند و چه سابقه‌ای در کار دارند؛ اما به‌نظر می‌رسد که این افراد در اوجِ مهارت و دانایی نباشند. شاید لازم نباشد به اصلِ خبرِ بی‌بی‌سی (ی انگلیسی) نگاه کنیم تا برایمان روشن بشود که آنچه در غیرِ معنای واقعی به‌کار رفته و علامت‌های نقلِ قول قرار است این غیرواقعی‌بودن را نشان دهد این است که تابلو اثرِ هالس است، نه اینکه تابلو جعلی است.

فارسی‌نویسی، چند نسل بعد از مسعود فرزاد.

کوتاه‌اش می‌کنم اگر/وقتی فرصت شد

در ۱۷۵۱ هیوم در نامه‌ای نوشت:

 معتقدم که جستارهای فلسفی حاویِ هر چیزِ مهمی مربوط به فهم است که در رساله با آن مواجه می‌شدید؛ و شما را نصیحت می‌کنم که این دومی را نخوانید. با کوتاه‌کردن و ساده‌کردنِ مباحث، حقیقتاً کامل‌ترشان کرده‌ام. Addo dum minuo. اصولِ فلسفی در هر دو یکی‌اند: اما شورِ جوانی و نوآوریْ مرا به انحرافِ انتشارِ عجولانه کشانْد. کاری چنان پُردامنه،‌ طراحی‌شده پیش از آنکه بیست‌ویک‌ساله باشم، و تألیف‌شده پیش از آنکه بیست‌وپنج،‌ ضرورتاً باید بسیار معیوب باشد. صدها و صدها بار از شتاب‌ام پشیمان شده‌ام.

جمله‌ی لاتین گویا یعنی اضافه می‌کنم،‌ در آن هنگام که اندازه را کاهش می‌دهم. 

می‌دانیم که هیوم با پاسکال آشنا بوده است (مثلاً در فصلِ‌ دهمِ کاوشِ اول ارجاعاتی به پاسکال هست)؛ اما نمی‌دانم آیا این جمله‌ی میانه‌ی قرنِ هفدهم‌اش را هم خوانده بوده یا نه:

Je n'ai fait celle-ci plus longue, que parce que je n'ai pas eu le loisir de la faire plus courte

که یعنی این را خیلی طولانی کرده‌ام،‌ صرفاً چون فراغتِ کوتاه‌ترکردن‌اش را نداشته‌ام. اصلاً نمی‌دانم که آیا این جمله در قرنِ هجدهم هم مشهور بوده یا نه.


کاوشی در خصوصِ فهمِ بشری ابتدائاً در مجلّدی با عنوانِ جستارهای فلسفی در خصوصِ فهمِ بشری منتشر شده بوده است.

درسِ گران‌آموخته

اینکه کسی که دوست‌اش داریم از شخصِ دیگری خوش‌اش بیاید (یا یک زمانی از او خوش‌اش می‌آمده)، به خودیِ خود نشان نمی‌دهد که آن شخصِ دیگر آدمِ بد یا بی‌سواد یا بی‌هنر یا دروغگو یا متملّق یا نان‌به‌نرخِ‌روزخور یا لمپن یا متوّهم یا بی‌ریشه یا نفهمی است. 

به دقت و صداقتِ گزارش‌های محبوب هم اگر اعتمادِ کامل داریم، این را یادمان نرود که قضاوت‌مان را حسادت می‌تواند خراب کند.

از همان "آی لاو یو"ها

با دوستِ قدیمیِ عزیزی بعد از ناهار رفتیم کافه. نشسته بودیم و داشت لطفاً و با شکیبایی مسأله‌ی ریاضی‌ای را توضیح می‌داد که فکرش را مدتی است مشغول کرده. مشتریِ دیگری در کافه نبود.

سخت بود تحملِ موسیقی‌ای که داشت در کافه پخش می‌شد. از این آقای خواننده قبلاً یک بار چیزهایی شنیده بودم و بارها چیزهایی شِنَوانده بودَندَم. و حالا، با دقیقاً همان لحنِ به‌گوشِ‌من‌بی‌مزه‌ای که شعرهای دیگری را خوانده بود، داشت شعرِ عاشقانه‌ی فاخری از شاملو را می‌خواند. مشکل فقط این نبود که، به گوشِ من، صدا بد بود و این‌طور به‌نظرم می‌رسید که مضحک است کسی با این لحن بگوید خورشیدِ بی‌غروبِ سرودی کشد نفس؛‌. این هم بود که اصلاً نمی‌شد حرف‌های دوست را دنبال کنم.

از آقای کافه‌دار پرسیدم که آیا می‌شود موسیقی را عوض کنند. مهربانانه عوض کرد. برگشتم سرِ بحثِ منطق و توپولوژی و قضیه‌ی فشردگی. بیرون که می‌آمدیم سانتا اسمرالدا داشت با ملایمتِ زیبایش از چشم‌های بزرگِ قهوه‌ایِ معشوق می‌گفت. 

اعلامِ وصول

گفتم که ناشرِ نازنین خبر داده که کتاب مجوزِ پخش گرفته. پرسید "در مشهد هم پخش می‌شود؟"