بعد از یک شنبه‌ی پاییزی

به نظرم یک نشانه‌ی عاشق‌‌اش‌بودن این است که مدام دل‌ات بخواهد از اتفاقاتِ روزمره‌ی زندگی‌ برایش بگویی—بارها گفته باشی و باز بخواهی بگویی. 

ریاضیاتِ اولِ دبیرستان: مجموعه‌ها

[امتحانِ درسِ‌مجموعه‌ها. مخصوصاً در موردِ سؤال‌‌های ۴ و ۵، بعضی جواب‌ها به طرزِ نامنتظَری خوب بود.]
**
 توجه: در بعضی سؤالات شاید اطلاعاتِ داده‌شده کافی نباشد؛ اگر در موردی نظرتان این است که اطلاعاتْ کافی نیست، بنویسید که اطلاعات کافی نیست.

۱. همه‌ی زیرمجموعه‌های 2عضوی و همه‌ی زیرمجموعه‌های 3عضویِ مجموعه‌ی {1 ,2 ,3 ,4 ,5} را بنویسید.

[۲ نمره]

۲. آیا دو مجموعه‌ی A و B وجود دارند که تعدادِ زیرمجموعه‌های A سه‌برابرِ تعدادِ زیرمجموعه‌های B باشد؟ اگر بله، چنین A و Bای مثال بزنید؛ اگر نه، برای جواب‌تان دلیل بیاورید.

[۲ نمره]

۳. در مورد هر کدام از این احکام، مشخص کنید که به‌نظرتان درست است یا غلط (ذکرِ دلیل لازم نیست). جوابِ اشتباه می‌تواند به کم‌شدنِ نمره از بخش‌های دیگرِ همین سؤال منجر بشود.

[۳ نمره]

(الف) N ∈ Z.

(ب) اگر ∅ = A – C، آنگاه تعدادِ اعضای C بزرگ‌تر یا مساویِ تعدادِ اعضای A است.

(پ) اگر تعدادِ اعضای مجموعه‌های A و C مساوی باشد، آنگاه تفاضلِ A و C تهی است.

(ت) اگر A = A∩C، آنگاه A زیرمجموعه‌ی C است.

(ث) مجموعه‌ی {∅ ,4} چهار زیرمجموعه دارد.

(ج) اگر x عضوِ E – F نباشد، آنگاه x عضوِ F است.

۴. مجموعه‌ای با حداقل سه عضو معرفی کنید که هر عضوش زیرمجموعه‌اش باشد.

[۲/۵ نمره]

۵. آیا مجموعه‌‌ای متناهی وجود دارد که هر زیرمجموعه‌اش عضوش باشد؟ اگر بله، مثال بزنید؛ اگر نه، دلیل بیاورید.

[۲/۵ نمره]

۶. اثبات کنید که اگر ∅ = A – C و ∅ = C – A، آنگاه A = C.

[۲ نمره]

۷. با توجه به اطلاعاتِ داده‌شده، به سؤال‌ها جواب بدهید (در هر مورد به‌اختصار توضیح بدهید).

[۳ نمره]

M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} [مجموعه‌ی مرجع]

B – A = {3, 5, 9}

C – B = {2, 6, 10}

A – C = {4, 7}

A∪B∪C = {10, 5, 2, 3, 8, 9, 4, 1, 6, 7}

(الف) آیا 5 عضوی است از A∩B∩C؟

(ب) آیا 0 عضوی است از A∩B∩C؟

(پ) آیا 1 عضوی است از A∩B∩C؟

(ت) آیا 7 عضوی است از C؟

(ث) آیا 7 عضوی است از B؟

(ج) آیا 7 عضوی است از C – A؟

(چ) آیا تعدادِ اعضای B و C برابر است؟

(ح) آیا ممکن است تعدادِ اعضای A بیشتر از C باشد؟

۸. در کلاسی که 26 دانش‌آموز دارد، 18 نفر از دانش‌آموزان به ادبیات علاقه دارند و 15 نفر به تاریخ. در این کلاس، هر کس به تاریخ علاقه دارد به هندسه هم علاقه دارد. به این سؤال‌‌ها جواب بدهید.

[۳ نمره]

(الف) برای این مسأله یک نمودارِ ون بکشید (ذکرِ عددها لازم نیست).

(ب) اثبات کنید که در این کلاس کسانی هستند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به هندسه.

(پ) اگر دقیقاً 10 نفر باشند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به تاریخ، چند نفر هستند که نه به تاریخ علاقه دارند و نه به ادبیات؟

(ت) اگر دقیقاً 4 نفر باشند که به هندسه علاقه دارند و به تاریخ علاقه ندارند و دقیقاً 13 نفر باشند که هم به ادبیات علاقه دارند و هم به هندسه، دقیقاً چند نفر هستند که به ادبیات علاقه دارند و به هندسه علاقه ندارند؟